Колловкиум по матану, 06.11.2025

Бесконечно большая последовательность:

Видео. Лекция 3, 32:00-45:15

Последовательность {βn} - бесконечно большая (далее б.б.), если:

lim βn = ∞

n→∞

Эта запись не означает, что предел существует и равен бесконечности, это значит как раз то, что предела нет. Просто запись такая.

C > 0 n0 n > n0 |βn| > C

lim βn = +∞ : C > 0 n0 n > n0 βn > C

n→∞

lim βn = −∞ : C > 0 n0 n > n0 βn < −C

n→∞

Окрестность бесконечности. Окрестностью ∞ называют (−∞; −C) (C; +∞). То же для −∞ и +∞, но берётся только левая или правая часть.

Определение ограниченности:

C > 0 n |xn| ≤ C

Неограниченная последовательность:

C > 0 n |xn| > C

Это выражение менее строгое, чем определение б.б., т.е. любая б.б. будет ему удовлетворять.

12. Свойства бесконечно малых последовательностей (с помощью определения)

Видео. Лекция 3, 7:50-18:20

1.б.м. + б.м. = б.м.

2.|б.м.| - это б.м.

3.αn · xn - б.м, если αn - б.м., а xn - ограничена.

Доказательство б.м. + б.м. = б.м.:

Пусть αn и βn - б.м., тогда:

ε > 0 n0 n > n0 : |αn + βn < ε|

Доказательство |б.м.| - это б.м.:

Пусть αn - б.м., тогда:

ε > 0 n0 : n > n0 |αn| < ε

9 из 15