Колловкиум по матану, 06.11.2025

n > max{n1, n2, n3}

yn < b + ε = a + b = a − ε < xn < yn

2

Появляется противоречие yn < ... < yn

10. Лемма о двух миллиционерах.

Видео. Лекция 2, 1:18:20-1:22:40

Теорема. Если заданы три последовательности{xn}, {yn}, {zn}, такие что:

n1 n > n1 xn ≤ zn ≤ yn

lim xn = lim yn = a

n→∞ n→∞

Тогда lim zn = a

n→∞

Доказательство:

n2 n > n2 : a − ε < xn < a + ε

n3 n > n3 : a − ε < yn < a + ε n0 = max{n1, n2, n3}

n > n0, тогда n > n0 будет выполняться a − ε ≤ xn ≤ yn < a + ε

a = lim zn

n→∞

11. Бесконечно малые последовательности. Связь с пределом последовательности. Бесконечно большие последовательности. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.

Бесконечно малая последовательность:

Видео. Лекция 3, 4:30-7:50

Последовательность {αn} - бесконечно малая (далее 6.м.), если

lim αn = 0

n→∞

Связь 6.м. с пределом последовательности. Рассмотрим последовательность {xn}, такую, что:

lim xn = a

n→∞

ε > 0 n0 n > n0 |xn − a| < ε

Тогда {xn − a} - б.м.

ε > 0 n0 n > n0 |(xn − a) − 0| < ε

8 из 15