Колловкиум по матану, 06.11.2025

infX inf(−X) = −sup(X) sup(X + Y ) = supX + supY

Доказательство: Пусть z = x + y, x X, y Y

inf(X + Y ) = infX + infY inf(X + Y ) = inf(X) + inf(Y ) sup(X − Y ) = supX − infY inf(X − Y ) = infX − supY

если X Y , то infX ≥ infY, supX ≤ supY

Свойства 4-6 доказать путем приведения свойствами 1 и 2 к виду свойства 3, а после доказать как свойство 3

5. Теорема о существовании точной верхней грани ограниченного множества.

Видео. Лекция 2, 23:00-41:40

База: Лемма о сечении Пусть R = A B,при этом непустые множества, A < B (т.е. a A b

B(a < b).

Рис. 3: A и B не пересекаются, будто числовая прямая разделена

Если X = ограничена сверху, то supX

Доказательство:

A = – множество верхних граней, B = – множество неверхних граней

От обратного: пусть B < A, тогда b B, a A : b ≥ a, значит, если a – верхняя грань, то и b должно быть верхней гранью, но b – множество неверхних граней противоречие

Возьмем b0 – наибольший элемент B, тогда x X : (x > b0). Значит, можем взять C =

)

C < x C / A

Противоречие! Значит, есть в A наименьшее – supX

C > b0 C / B

Следствие:

Если X – ограничено снизу, то infX

Значит, −X ограничено снизу, то sup(−X) inf(−(−X)) = infX

6. Определение предела последовательности. Предельные точки. Единственность предела.

Видео. Лекция 2, 41:00-1:06:30

5 из 15

Колловкиум по матану, 06.11.2025

Последовательность – отображение множества натуральных чисел в множество вещественных чи-

сел. N → R, n N → f(n) = an

Окрестностью какой-нибудь точки a называют любой интервал, содержащий эту точку,

Предельные точки: Точка a называется предельной точкой последовательности, если в любой ее окрестности содержиться бесконечно много членов поледовательности.

То есть, ε > 0 n0 n > n0 : a − ε < Xn < a + ε, где {Xn} – какая-то последовательность

Предел:

a = limx→∞ xn (число а – предел последовательности xn при n, стремящимся к бесконечности), если вне любой окрестности точки a лежит конечное число членов последовательности

ε > 0 n0 n > n0

a − ε < xn < a + ε

−ε < xn − a < ε

|xn − a| < ε

Рис. 4: Предел

Пример: У нас есть ε = 0.03, тогда n > 0.103 = 1003 n0 = 33(минимальное целое число). Допустим, у нас есть значение и какой-то коридор. Члены последовательности попадают в этот коридор согласно рисунку

То есть, некоторые значения от 0 до 29 попадают, некоторые нет, но от 30 они все находятся в коридоре. В этом случае, n0 = 29. Если

уменьшим ε, то n будет увеличиваться.

Рис. 5: supX

Единственность предела:

n1 : n > n1a − ε < xn < a + ε

n2 : n > n2b − ε < xn < b + ε

n > max{n1, n2}

6 из 15