Пусть X R:

если x ограничено сверху

если x НЕ ограничено сверху

A : x X(x ≤ A)

A : x X(x > A)

A – верхняя грань

У множества нет верхней грани

Пусть X R:

если x ограничено снизу

если x НЕ ограничено снизу

B : x X(x ≥ B)

B : x X(x < B)

B – нижняя грань

У множества нет нижней грани

Точная верхняя грань

Точная нижняя грань

Словами

Наименьшая из верхних граней

Наибольшая из нижних граней

Обозначение

supX супр´емум

infX инфинум´

Определение

1) supX = M – наименьшая из верхних граней

infX = m – наибольшая из нижних граней

1) x X(x ≤ M)

1) x X(x ≥ m)

2) M′ – не в.г., M′ < M x X(x > M′)

2) m′ – не н.г., m′ > m x X(x < m′)

2’) ε = M − M′ > 0, ε > 0 x X : x > M − ε

2’)ε = m − m′ > 0, ε > 0 x X : x < m + ε

Рис. 1: supX

Рис. 2: infX