Колловкиум по матану, 06.11.2025

Коллоквиум по математическому анализу у Соколушки до 16

вопроса

10 февраля 2026 г.

Содержание

Все по допуску

2

По Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

По Гейне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Отрицание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

График . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1. Логическая символика. Отрицание высказываний.

3

Все значки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Отрицание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2. Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани.

3

Ограничены/не ограничены сверху, верхние грани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Ограничены/не ограничены снизу, нижние грани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3. Точные верхние и нижние грани множества. Эквивалентные определения.

4

4. Свойства точных граней.

4

supX sup(−X) = −inf(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

infX inf(−X) = −sup(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

sup(X + Y ) = supX + supY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

inf(X + Y ) = infX + infY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

inf(X + Y ) = inf(X) + inf(Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

sup(X − Y ) = supX − infY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

inf(X − Y ) = infX − supY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

если X Y , то infX ≥ infY, supX ≤ supY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

5. Теорема о существовании точной верхней грани ограниченного множества.

5

6. Определение предела последовательности. Предельные точки. Единственность преде-

ла.

5

7. Ограниченность сходящейся последовательности.

7

8. Сохранение знака сходящейся последовательности.

7

9. Предельный переход под знаком неравенства для последовательностей.

7

10. Лемма о двух миллиционерах.

8

11. Бесконечно малые последовательности. Связь с пределом последовательности. Беско-

нечно большие последовательности. Связь между бесконечно большими и бесконечно

малыми последовательностями.

8

Бесконечно малая последовательность: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Бесконечно большая последовательность: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

12. Свойства бесконечно малых последовательностей (с помощью определения)

9

13. Теоремы о сумме и произведении и частном сходящихся последовательностей (с по-

мощью бесконечно малых).

10

Доказательство 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Доказательство 4: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

14. Предел монотонной ограниченной последовательности.

11

Всякая монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел . . . .

11

Монотонно невозрастающая и ограниченная снизу последовательность . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Колловкиум по матану, 06.11.2025

15.

Сочетания, их свойства, Бином Ньютона (без доказательства). Число "е".

11

16.

Лемма о вложенных отрезках.

12

17.

Теорема Больцано-Вейерштрасса.

13

18.

Критерий Коши сходимости последовательности.

13

19. Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне. Приме-

ры функций, имеющих и не имеющих предела в точке.

13

20.

Свойства функций, имеющих предел в точке.

13

21. Арифметические действия над пределами функций (доказательства с помощью опре-

делений по Коши и по Гейне).

13

22.

Непрерывность функции в точке. Свойства.

13

23.

Теорема о непрерывности сложной функции.

13

24.

Непрерывность основных элементарных функций.

13

25.

Первый замечательный предел. Следствия из него.

13

26.

Второй замечательный предел. Следствия из него.

13

27.

Критерий Коши существования предела функции.

14

28.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Пределы на бесконечности.

14

29. Определения «о»-малого, эквивалентных функций. Вычисление пределов с помощью

эквивалентностей.

14

30.

Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке функции.

14

32.

Теорема о переходе через 0 непрерывной на отрезке функции.

14

33.

Теорема о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции.

14

34.

Теорема о функции, обратной непрерывной монотонной.

14

35. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва. Точки разрыва монотонных

на отрезке функций.

14

36.

Модуль непрерывности. Равномерная непрерывность.

14

37.

Равномерная непрерывность функции на отрезке

15