17. Момент инерции. Теорема Штейнера.

- Момент инерции системы тел – физическая величина равная сумме произведений m_i на 𝑟_𝑖²:

В случае непрерывного распределения масс сумма:

Кольцо

Диск, цилиндр

Стержень

Шар

Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс J₀, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между ними а².

18. Момент силы.

- Момент силы F относительно неподвижной точки – (псевдовектор)физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из точки 0 в точку приложения силы, на силу F.

Момент силы относительно неподвижной оси – скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора М относительно произвольной точки данной оси.

Значение М_z не зависит от выбора положения точки 0 на оси z.

19. Основное уравнение динамики вращательного движения.

- При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка движется по окружности постоянного радиуса R_i с некоторой скоростью υ_i.

Т. к. , таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на уголовую скорость.

Продиффернцируем по времени:

- Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

В общем случае записывается:

Момент инерции относительно оси – мера инерции твердого тела при вращательном движении относительно оси.

20. Момент импульса.

- Момент импульса (количества движения) материальной точки относительно неподвижной точки 0 – физическая величина, определяемая векторным произведением

Момент импульса относительно неподвижной оси – скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора L относительно произвольной точки данной оси.

Для движения по окружности

21. Кинетическая энергия при вращательном движении.

- Т.к. имеется абсолютное твёрдое тело, следовательно, для всех m_i - ω = const.

Формула справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного и вращательного движения.

22. Закон сохранения момента импульса.

- В замкнутой системе момент внешних сил и , следовательно, - Закон сохранения момента импульса

Это фундаментальный закон природы, связан с симметрией пространства, его изотропностью, т.е. физические законы не зависят от выбора направления осей системы координат (относительно поворота замкнутой системы на любой угол в пространстве).

23. Абсолютно неупругий удар шаров.

- удар, при котором полная механическая энергия соударяющихся тел не сохраняется, частично переходит во внутреннюю энергию; импульс сохраняется.

При абсолютно неупругом ударе тела после удара двигаются с одинаковой скоростью.

24. Абсолютно упругий удар шаров.

- удар, при котором внутренняя энергия соударяющихся тел не изменяется.

При соударении возникает сила упругости, шары раздвигаются и кинетическая энергия восстанавливается.

- зкн сохранения импульса

- зкн сохранения энергии

25. Гироскоп. Прецессия.

- Гироскоп - массивное аксально-симметричное тело, быстро вращающееся вокруг главной оси симметрии. Гироскопы используются при решении задач навигации, управления движения подвижными объектами.

Свойства гироскопа проявляются при выполнении двух условий:

1. ось вращения гироскопа должна иметь возможность изменять своё положение в пространстве;

2. частота вращения гироскопа вокруг своей оси должна быть много больше скорости изменения направления оси в пространстве.

3. необычная реакция на действие внешних сил (прецессионный характер движения); 4. безынерциальнность по отношению к силовому воздействию на ось вращения.

Все три оси пересекаются в одной точке, называемой центром подвеса. Такой гироскоп имеет 3 степени свободы и может совершать любой поворот около центра подвеса.

Силами трения в подшипниках и моментами импульса колец пренебрегаем.

Прецессия - поворот оси вращения гироскопа происходит под действием внешнего момента силы M. Если гироскоп начинает вращаться с большой угловой скоростью ω, то при отсутствии внешних сил (F_внеш =0) М = 0 и т.е. ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве.

Если к оси гироскопа y приложить пару сил F, то возникает вращающий момент М

Вектор совпадает с направлением оси вращения гироскопа. Если время воздействия мало dt → 0, то даже если момент сил М велик, dL → 0, т.е. кратковременное действие сил не приводит к изменению ориентации оси гироскопа, она будет сохранять определённое направление в пространстве.