13.03.02 Электроэнергетика и электротехника / сис_Перова / Экзамен / ЭЭС ч2, лк Сложнозапкн сети, 1

Если узел k соединен с узлом j (т. е. Ykj 0), то на пересечении k-й строки и j-го столбца будет единица.

На диагонали матрицы присоединения узлов находятся единицы. Иными словами, матрица присоединения узлов отличается от матрицы Yу тем, что все ненулевые элементы Yу заменены единицами.

Наиболее простой и достаточно эффективный при применении метода Гаусса способ нумерации узлов состоит в приведении матрицы присоединения узлов к ленточной форме. Матрицей в ленточной форме называют такую, у которой ненулевые элементы расположены в виде «ленты» вдоль главной диагонали матрицы (рис. 8).

Рис. 8. Нумерация узлов, приводящая матрицу присоединения узлов к ленточной форме:

а - граф сети; б - матрица присоединения

Такая форма записи матрицы Yу эффективна для сетей цепочечной или близкой к ней структуры. Покажем, как пронумеровать узлы, чтобы привести матрицу присоединения к ленточной форме.

Будем называть степенью узла число ветвей, присоединенных к этому узлу (степенью вершины графа называют число ребер, опирающихся на эту

11

вершину). Первый номер присвоим узлу с минимальной степенью. Если таких узлов несколько, выбираем любой из них. Далее, в порядке возрастания номеров уже пронумерованных узлов нумеруем смежные с ними непронумерованные узлы, причем нумерация ведется в порядке возрастания их степеней.

Этот способ нумерации легко реализовать на ЭВМ. Для каждого узла подсчитывается степень, т. е. число других узлов, с которыми он соединен. Узлы нумеруются в соответствии со степенями. Номер узла тем больше, чем с большим количеством других узлов он соединен. Такой способ нумерации узлов приводит к существенному сокращению числа новых ненулевых элементов, возникающих в процессе исключения по Гауссу.

Существуют многочисленные способы нумерации узлов и учета слабой заполненности матрицы Yу. Используя методы теории графов, можно с помощью специальных алгоритмов определять оптимальную с точки зрения экономии памяти и уменьшения числа операций нумерацию узлов. В то же время простые способы нумерации узлов, например, приведенный выше, достаточно эффективны и их усложнение часто нецелесообразно. Еще раз подчеркнем, что возможность учета слабой заполненности матрицы Yу составляет важнейшее преимущество методов Гаусса и Ньютона при решении линейных и нелинейных уравнений установившегося режима в сравнении с методами, использующими матрицу собственных и взаимных сопротивлений узлов, в которой нет нулевых элементов.

Рассматриваемые далее способы эквивалентирования и разделения ЭЭС на подсистемы эффективны в сочетании с учетом слабой заполненности матриц.

Эквивалентирование при расчетах установившихся режимов

Пусть схема анализируемой ЭЭС содержит n+1 узел. Диспетчеру нужно проанализировать изменение режима при увеличении нагрузки в нескольких близко расположенных узлах. Окажет ли это увеличение нагрузки влияние на всю схему? Что нужно сделать, чтобы быстро оценить ситуацию и принять верное решение? Можно ли заменит реальную схему на какой-то эквивалент

икак его выбрать? Чтобы ответить на эти вопросы рассмотрим простую схему

иобобщим полученные результаты.

Схема электрической сети на рис. 1а содержит восемь узлов. Надо проанализировать, как изменится режим при увеличении нагрузки, например, в узле 3. Как правило, изменение нагрузки оказывает влияние не на всю электроэнергетическую систему, а лишь на ее часть. Допустим, что эта часть

12

состоит из четырех узлов с номерами 1, 2, 3, 8. Практический опыт расчетов и анализа режимов в ЭЭС во многих случаях позволяет с той или иной степенью точности выделить эту часть системы.

Рис. 1. Эквивалентирование сети:

а - исходная сеть; б - эквивалентная сеть

Естественно, что в рассматриваемом случае целесообразно заменить всю сеть из восьми узлов на эквивалентную из четырех узлов (рис. 1б), содержащую только те узлы, в которых изменения параметров режима существенны. Затем надо рассчитать и проанализировать установившийся режим только эквивалентной системы из четырех узлов (рис. 1 б).

Эффективность эквивалентирования состоит в уменьшении числа узлов рассчитываемой электрической системы. В результате уменьшается количество решаемых уравнений установившегося режима и переменных в них. Соответственно уменьшаются требуемые память и время расчета на ЭВМ, упрощается анализ режима электрической системы.

Схема считается эквивалентной, если в результате расчета ее режима напряжения оставшихся в ней узлов будут те же, что и при расчете исходной схемы. Остальные узлы исходной схемы исключаются из рассмотрения, и напряжения в них не могут быть определены в результате расчета эквивалентной схемы. Обычно при эквивалентировании предполагается, что в качестве активных элементов схема содержит только задающие токи; все ЭДС ветвей предполагаются предварительно замененными эквивалентными задающими токами.

Приведем расчетные выражения для матрицы проводимостей узлов эквивалентной системы. Число независимых узлов исходной системы и порядок матрицы Yу равны п, для сети на рис. 1а узел 8- балансирующий и п=7. В эквивалентной системе содержится пII независимых узлов. При эквивалентировании исключается пI узлов, где пI =п-nII.

В эквивалентной сети на рис. 1б три независимых узла, т. е. при

13

фактически матрица Yу представляется в блочной форме, т.е. разделенная на подматрицы. Расчет режима требует операций лишь с этими подматрицами, но не с полной матрицей. Разделение на подсистемы осуществляется так, что большинство подматриц состоит из нулей. Например, разделение на

существенно упрощаются и можно независимо рассчитывать подсистемы I и II. Такое разделение возможно лишь в частном случае, когда две подсистемы не связаны друг с другом, но питаются от одного балансирующего узла (рис. 2, а и б). В более сложных случаях подсистемы связаны друг с другом через граничные ветви или узлы (рис. 2, д и е).

Рис. 2. Разделение на подсистемы, приводящее матрицу присоединения узлов к блочно-диагональной форме:

а - граф сети; б - разделение на подсистемы: в - матрица присоединения исходной сети; г - матрицы присоединения подсистем: д - подсистемы, соединенные граничной ветвью: е - разделение этих подсистем

16

Покажем, что при разделении сети на рис. 2а на подсистемы I и II (рис. 2, б) матрица присоединения сети приводится к блочно-диагональной форме. Матрицей в блочно-диагональной форме называют такую, которая состоит из матриц-клеток (или блоков), расположенных по диагонали. Разделим схему соединения на две изолированные подсистемы (рис. 2,б). Для этого разделим схему по узлу 7. Этот узел называется граничным. Пронумеруем вначале в произвольном порядке узлы первой подсистемы (кроме граничного узла), а затем узлы второй подсистемы. Граничные узлы нумеруются в последнюю очередь. На рис. 2, в приведена матрица присоединения узлов в блочнодиагональной форме. Здесь ненулевые элементы матрицы присоединения сгруппированы в отдельные квадратные матрицы-клетки (блоки), расположенные вдоль диагонали. Они окаймляются ненулевыми элементами, не вошедшими в эти клетки (для схемы на рис. 2, а это элементы, соответствующие связям узла 7 со всеми остальными узлами). Решение системы уравнений с такой матрицей можно свести к независимому решению подсистем I и II (рис, 2, г), которым соответствуют матрицы-клетки, расположенные вдоль главной диагонали.

Рис. 3. Разделение на три подсистемы, приводящие матрицу присоединения к блочно-диагональной форме:

а - исходная сеть; б - три подсистемы; в - матрица присоединения

Очевидно, что решать две независимые системы уравнений 3-го порядка для подсистем I и II проще, чем систему 6-го порядка для исходной сети.

17

На рис. 2, д, е и 3 приведены более сложные случаи. На рис. 2, д, е подсистемы I, II соединены граничной ветвью 48. Сеть на рис. 3, а можно разделить на три подсистемы- I, II, III (рис. 3,б). Граничный узел- 12, граничные ветви- 812 и 412. На рис. 3,в приведена матрица присоединения. Решение уравнений установившегося режима с такой матрицей можно свести к независимым решениям для подсистем I, II, III, которым соответствуют матрицы-клетки, расположенные вдоль главной диагонали, и решению некоторой системы уравнений для узлов, не вошедших в эти системы (для узла

12 рис. 3,а).

Эта система уравнений называется граничной и получается после исключения всех переменных клеточных подсистем из уравнений этих узлов. Такой способ нумерации узлов в литературе иногда называют разбивкой на естественные и искусственные подсистемы.

Основное отличие разделения на подсистемы от эквивалентирования состоит в следующем. При эквивалентировании рассчитывается установившийся режим только эквивалентной системы. Напряжения исключенных узлов не определяются. При разделении на подсистемы определяются напряжения всех узлов электрической системы. Эффективность разделения на подсистемы состоит в том, что для каждой подсистемы решается меньшее количество уравнений с меньшим числом неизвестных, чем без такого разделения. Именно поэтому достигается экономия оперативной памяти ЭВМ, так как в оперативной памяти можно осуществлять расчет лишь для каждой подсистемы, запоминая результаты этого расчета во внешней памяти. Такой путь позволяет увеличить объем рассчитываемых электрических систем и в ряде случаев уменьшить время расчета.

18