13.03.02 Электроэнергетика и электротехника / сис_Перова / Экзамен / ЭЭС ч2 Лк Сложнозамк сети, 3
.pdf
использовать полную матрицу собственных и взаимных сопротивлении узлов Z размерности (п+1), то из (46) получим аналогично (48) выражение потерь в виде квадратичной формы от токов в узлах:
S |
|
= 3I |
T |
Z |
|
I |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Выразив в (51) токи в узлах через мощности в узлах
(51)
I |
T |
= |
|
|
|||
|
|
1 |
S |
T |
U |
−1 |
|
3 |
|
диаг |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
;
I |
|
= |
|
|
1 |
(U |
* |
−1 |
* |
3 |
диаг ) |
|
S |
|
|
|
|
|
.
получим следующее выражение потерь мощности в сети:
T |
−1 |
* |
−1 |
* |
|
||||
S = S U |
диаг Z (U |
диаг ) |
|
S , |
(52)
где S - |
вектор-строка комплексных узловых мощностей размерности (п+1); |
|||||
T |
|
|
|
|
|
|
S* - вектор-столбец сопряженных |
узловых мощностей размерности (п+1); |
|||||
U диаг ,(U |
диаг ) |
−1 |
- диагональные матрицы размерности (п+1), k-е элементы |
|||
−1 |
* |
|
|
|
|
|
которых равны соответственно U k |
и (U k ) |
−1 |
. |
|||
|
|
|
−1 |
* |
|
|
Выводы Метод Ньютона широко применяется для расчетов установившихся
режимов на ЭВМ. Матрица Якоби системы уравнений установившегося режима слабо заполнена, как и матрица YУ. Поэтому в расчетах режимов на ЭВМ на каждом шаге метода Ньютона можно использовать способы учета слабой заполненности.
Важнейшие преимущества метода Ньютона в расчетах установившихся режимов на ЭВМ заключаются в быстрой квадратичной сходимости и возможности учета слабой заполненности матрицы производных. Метод Ньютона также применяется для расчетов установившихся режимов при их комплексной оптимизации.
Таким образом, метод Ньютона в расчете установившегося режима сходится значительно быстрее и надежнее всех остальных, что и привело к его широкому применению в программно-вычислительных комплексах, используемых для расчета установившихся режимов.
Для увеличения скорости и надежности расчета установившегося режима применяются различные модификации метода Ньютона, например, метод Ньютона-Рафсона. Для повышения эффективности метода Ньютона используют «разделение» уравнений, а для более надежной сходимости учитывают старшие нелинейные члены в разложении Тейлора (20) или используют методы по параметру.
11
Использование матриц весьма важно для компактной записи уравнений установившегося режима, анализа и усовершенствования методов решения (в матричной форме) этих уравнений. Запись уравнений установившегося режима в матричной форме не предполагает обязательного использования операций с матрицами и в особенности трудоемкой операции обращения. Для эффективного решения уравнений установившегося режима необходим учет нулевых элементов в соответствующих матрицах.
Разделение уравнений при решении УУН (раздельное решение)
Разделение уравнений (раздельное решение), связывающих активные мощности и фазы напряжений (Р- ), реактивные мощности и модули напряжений (Q-U), применяется для повышения эффективности метода
Ньютона. |
Простейший способ разделения уравнений |
состоит в том, |
|||||||||
что все элементы недиагональных подматриц |
W |
|
и |
W |
в матрице Якоби в |
||||||
|
P |
Q |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
δ |
|
|
методе Ньютона принимаются равными нулю. |
|
|
|
|
|
||||||
Матрица Якоби имеет вид: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
W |
P |
W |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W |
= |
U |
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
X |
W |
|
W |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Q |
Q |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
||
В этом случае система линейных уравнений, решаемых на каждом шаге метода Ньютона, разделяется на две системы уравнений порядка п. Одна из них содержит только параметры Р- , другая только Q- U. Этот вариант метода Ньютона требует в 4 раза меньшего объема памяти для матрицы Якоби (в оперативной памяти ЭВМ хранится только одна из разделенных систем уравнений). Фактически объем памяти будет составлять 3540 %, объем вычислений на один шаг на 10 % меньше, чем для метода Ньютона без использования разделения.
Разработаны способы решения разделенных уравнений с постоянными матрицами. В этом случае время расчета на один шаг примерно в 5 раз меньше, чем для метода Ньютона без разделения, и в 1,5 раза больше, чем для метода Зейделя. Методы с разделением при практически приемлемой точности расчета больших систем требуют от двух до пяти шагов. Они дают хорошее приближение после одной или двух итераций. Конечно, их сходимость не быстрее, чем для метода Ньютона без разделения уравнений. При расчете близких к предельным режимов метод Ньютона с разделением может
12
расходиться в тех случаях, когда метод без разделения сходится. Таким образом, разделение может уменьшить надежность сходимости.
13