Добавил:

AllMotorolla Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Амурский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЭЭС ч2 Лк Сложнозамк сети, 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2026

Размер:

513.34 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция от 09.06.2020

Разделение уравнений узловых напряжений для расчета установившегося режима ЭЭС на ЭВМ

(продолжение)

Метод Ньютона

Решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений методом Ньютона эффективно, так как при сравнительно несложной схеме вычисления он обладает быстрой сходимостью. Метод Ньютона пригоден для решения обширного класса нелинейных уравнений.

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации системы нелинейных уравнений некоторой линейной системой, решение которой дает значения неизвестных, более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение. Рассмотрим идею этого метода на примере решения уравнения

w (x) = 0

(9)

Рис. 1. Итерационный процесс метода Ньютона

	~
Решение уравнения	x		- точка,	в которой кривая w(х) проходит через
Решение уравнения			- точка,	в которой кривая w(х) проходит через
нуль (рис. 1). Зададим начальное приближение x(0).
Заменим уравнение (9)	в окрестности точки x				(0)	линейным уравнением
Заменим уравнение (9)	в окрестности точки x					линейным уравнением
		w (x(0) )+		w (x(0) )(x − x(0) ) = 0			,	(10)
				x

левая часть которого представляет собой два первых члена разложения функции w(х) в ряд Тейлора. Решим линейное уравнение (10) и определим поправку x(1) к начальному приближению:

x(1) = x(1) − x(0 ) = −	w (x(0) )					.
							(11)
		x (		0)	)

		w	x(

За новое приближение неизвестного принимаем

									w (x		(0)			)
											(0)
x	(1)	= x	(0)	+ x	(1)	= x	(0)	−								.
x		= x		+ x		= x		−	w	(x					)	.
										(x		(	0)		)
												(	0)
									x

Аналогично определяются следующие приближения:

w (x

(i )

)

(i +1)

= x

(i )

+ x

(i +1)

= x

(i )

−

)

(i )

(12)

(13)

Итерационный процесс сходится, если функция w(х) становится близкой к нулю. Сходимость считается достигнутой, если абсолютная величина невязки (или небаланса) меньше заданной, т. е. при

w (x	(i )	) .

(14 )

Необходимо помнить, что нельзя осуществлять контроль сходимости по

величине поправки	x	(i )	, т.к. это может привести к неверным результатам.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода Ньютона (рис. 1). Один шаг метода Ньютона сводится к замене кривой w(х) на прямую

w (x	(0)	)+
	(0)

w			)(x −
	(x	(0)	)(x −
		(0)
x

x	(0)	)
	(0)

, которая является касательной к этой кривой в точке


x = x	(0 )		.	Поэтому		метод Ньютона называют также методом касательных.

Приближение x					(i+1)		есть точка пересечения касательной к кривой w(х) в точке

x = x		(i )		с осью х (см. рис. 1).

Рассмотрим решение по методу Ньютона системы нелинейных алгебраических уравнений с действительными переменными:

w1 (x1 w2 (x1 w3 (x1

,x2 , x3 ) =

0; (15)

Если использовать вектор-столбец Х и вектор-функцию W(Х), где

x	w1	(x1 , x2
X = x21	, W ( X ) = w2	(x1 , x2
x3	w3	(x1 , x2
	2

, x3 )

, x3 )) , (16)

, x3

то систему (15) можно записать в матричном виде:
									W(X)=0.	(17)
Пусть		(0)	,	x	(0)	,	x	(0)	- начальные приближения неизвестных.	Заменим
Пусть	1				2			3	- начальные приближения неизвестных.	Заменим
	x

каждое из нелинейных уравнений (15) линейным, полученным разложением в ряд Тейлора. Например, первое уравнение после линеаризации будет иметь следующий вид:

(0)		(0)							(0 )	)+		w		1		(0 )		(0 )	(0 )		(0 )	)+
w1 (x1	, x2			, x3						)+		x				(x1		, x2	, x3	)(x1 − x1		)+
												x	1
			w										1
	+		w					1		(0)		(0)				(0)		)(x2	(0 )		)+
								1		(0)		(0)				(0)			(0 )
			x						(x1			, x2				, x3			− x2
			x				2
		w					2
	+	w				1				(0)		(0)				(0 )			(0 )	) = 0.
	+	x						(x1			, x2				, x3		)(x3 − x3			) = 0.
		x			3
					3

(18 )

w	k

Запишем матрицу Якоби, т,

по переменным

xk :

		w		1
				1
		x	1
			1
W	=	w		2
				2
X		x
X		x	1
			1
		w		3
				3
		x	1
			1

е. матрицу производных системы функций

w		1	w		1

x	2		x	3

w		2	w		2	.

x			x
	2			3		(19)

w			w
		3			3

x	2		x	3

Тогда систему линеаризованных уравнений можно записать в матричном виде следующим образом:

w (x(0) )+	w (x(0) )(x − x(0) ) = 0 .	(20)
	x

Эта система линейна относительно поправок xk(1) = xk(1) − xk(0) .

Предположим, что матрица Якоби

- не вырождена, т. е. ее

определитель не равен нулю.

Решим линейную систему (20) и определим поправки с помощью метода Гаусса. Затем найдем первое приближение переменных

X (1) = X (0 ) + X (1) .	(21)
3

Каждый шаг итерационного процесса состоит из решения линейной системы

(i )

) X

+1)

= −W(X

(i )

)

(22)

и определения следующего приближения неизвестных:

(1)

= X

(0)

+ X

(1)

(23 )

Итерационный процесс Ньютона можно компактно записать в матричной форме, что удобно для анализа итерационного процесса Ньютона:

−1

(i +1)

= X

(i )

−

(i )

)

W (X

(i )

(24)

Нужно помнить, что поправки

(i+1)

всегда определяются в результате

решения линейной системы (22) по методу Гаусса (иногда - по методу Зейделя).

Контроль сходимости осуществляется по вектору невязок

w	X	(i )	)	.	(25)

k (

и должен выполняться для всех невязок (небалансов).

Решение узловых уравнений баланса мощности

Запишем уравнение узловых напряжений в форме баланса мощностей для k-го узла в следующем виде:

w Sk (U ) = S k −

kk U k U k −

kj U j U k .

(26)

j =1

j k

В этом выражении для удобства записи слагаемое

kб

внесено в сумму,

Sk (

)

причем балансирующему узлу присвоен номер

п+1.

Функция

соответствует небалансу мощности в k-м узле. Для того чтобы оперировать с вещественными величинами, выделим в уравнении (26) действительные и мнимые части:

wSk (U ) = wPk (U ,U )+ jwQk (U ,U ),

где wPk , wQk - соответственно небалансы активных и реактивных мощностей в узле k;

U	, U	- вектор-столбцы действительных и мнимых составляющих напряжений.

		В качестве неизвестных при решении уравнений установившегося
режима могут использоваться:
		1)	модули и фазы напряжений в узлах U и ;
		2)	вещественные и мнимые составляющие напряжений U и U .

В расчетах установившегося режима на ЭВМ обычно используют модули и фазы напряжений узлов Uk и k .

Уравнения баланса мощностей для k-го узла при переменных U, можно получить из (26) в следующем виде:

где

	kj

n+1

(

)

= P − g

− U

cos

− b

sin

;

j =1

j k

n+1

(

kj )

= Q

− b

− U

cos

+ g

sin

j =1

j k

= k − j ; k=1,..,п.

В этом случае

(27)

(28)

		W	P	W	P

W	=	U				,

X		W		W

		Q		Q
		U

(29)

т.е. элементы матрицы Якоби - это частные производные небалансов активной и реактивной мощностей по модулям и фазам напряжений узлов. Если активные и реактивные мощности заданы во всех узлах, то число уравнений узловых напряжений баланса мощности и число переменных Uk и k равны 2п. Все подматрицы в (29) - квадратные, их порядок равен п. Если в узле k заданы Pk и Uk , то уравнение баланса реактивной мощности k-го узла не входит в систему уравнений узловых напряжений, а Qk - в число зависимых переменных, определяемых при решении уравнений узловых напряжений. Для узлов,

балансирующих по Q, в матрицу Якоби

wQk . В этом случае число переменных U

	w
(29) не входят производные	Qk		и
	U
		j

k и k и размер квадратной матрицы

(29) меньше 2п на число узлов, балансирующих по Q, причем число

переменных равно п. При этом подматрица WQ - квадратная, порядок ее

равен числу переменных Uk , т. е. меньше п на число узлов, балансирующих по

Q. Подматрица

- прямоугольная, в ней п столбцов, а количество строчек

меньше п на число узлов, балансирующих по Q.

Определитель матрицы Якоби (якобиан) уравнений установившегося режима в форме баланса мощности (29) при задании в генераторных узлах РГ и QГ равен свободному члену характеристического уравнения переходных процессов в электрической системе, если выполняются определенные условия. Это обстоятельство может эффективно использоваться для анализа статической апериодической устойчивости в ходе расчета установившегося режима по методу Ньютона.

Решение уравнений узловых напряжений баланса токов

Решение уравнений узловых напряжений баланса токов методом Ньютона осуществляется аналогично. Уравнение k-го узла имеет вид

		n
	S k
wIk (U ) =		−Y kk U k −	Y	kj U j .	(30)


	U k	j =1
		j k

Уравнение баланса активного и реактивного токов при использовании переменных U , U легко получить, выделив в (30) действительную и мнимую части. Элементы матрицы Якоби - это производные активных и реактивных небалансов токов по активным и реактивным напряжениям узлов (либо по модулям и фазам напряжений).

Все недиагональные элементы подматриц в матрице Якоби постоянны (т. е. независимы от режима). Каждый недиагональный элемент в матрицахклетках равен активной или реактивной узловой проводимости, т. е.

соответствующему		элементу				матрицы	коэффициентов	системы
действительных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов
G	B	U		I
У	У		= 3		.
− B	G	U	= 3	I	.
− B	G	U		I
У	У

Это следует из линейности слева системы уравнений балансов тока (4). Диагональные элементы подматриц в матрице Якоби зависят от напряжения именно вследствие нелинейности правых частей в системе уравнений баланса токов, т. е. из-за нелинейности задающих токов S k 3U k . В этом легко убедиться, если продифференцировать активные и реактивные небалансы токов в узлах.

При решении нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов вычислительная схема метода Ньютона очень близка к схеме их итерационного решения с использованием на каждом шаге итераций метода

Гаусса. Отличие лишь в том, что диагональные элементы подматриц в матрице Якоби зависят от напряжений и изменяются на каждом шаге итерационного процесса, что и учитывается нелинейностью уравнений. Именно вследствие учета нелинейности можно считать, что применение метода Ньютона с точки зрения сходимости лучше, чем решение в каждом шаге итерационного процесса линейных уравнений узловых напряжений другими методами.

Определение токов, потоков мощности и потерь мощности в сети

Расчет установившихся режимов сложных ЭЭС методом узловых напряжений состоит из двух частей: определения напряжений узлов; определения токов, потоков и потерь мощности в ветвях. Напряжения узлов определяются в результате решения системы уравнений узловых напряжений. После того как напряжения всех узлов найдены, можно легко определить для каждой ветви ток по закону Ома, а также потоки и потери мощности.

Рассмотрим, как это сделать.

Определение токов и потоков мощности в линии при известных напряжениях на ее концах.

Ток (фазный) в продольной части линии (рис. 1, а) по закону Ома равен:

I kj =

− U

= −

(U k

− U j )Y kj

3 Z

где U k

U j

- линейные напряжения узлов k, и j;

kj - сопротивление ветви kj;

= r

+ jx

Y kj

= −Z kj

- взаимная проводимость узлов kj.

−1

(31)

Рис. 1. Расчет токов, потоков и потерь мощности в линии:

а- токи; б- потоки мощности; в- потоки мощности при учете активной проводимости на землю

Ток

I k

(рис. 1, а),

текущий от узла k,

в линию kj, по первому закону

Кирхгофа равен

= I

+ I

= −

− U

(32 )

C ,kj

где

- фазный емкостный ток в начале линии kj;

I C ,kj

- половина емкостной проводимости на землю линии kj;

b l

2 C ,kj

2 0

Ток

I j

, текущий из линии kj к узлу j, равен

= I

− I

= −

− U

−

(33)

C ,kj

Мощность трех фаз в начале продольной части линии kj, т. е. текущая по

продольной части линии от узла k к узлу j (рис. 1,б), равна

= −U

k (

−U

)

−Y

(34)

Мощность в конце продольной части линии kj, т. е. подтекающая по

продольной части линии от узла k к узлу j (рис. 1, б), равна

= −U

j (

−U

)

= −Y

(35)

Потери мощности в продольной части линии kj (в сопротивлении Z kj )

равны разности потоков мощности в начале и в конце линии, т. е.

− S

= −

− U

= − U

− U

(

)(

j )

(36)

В последнем выражении учтено, что произведение комплексно-

сопряженных чисел равно квадрату их модуля.

Мощность, текущую от узла k в линию kj (рис. 1, б), можно получить из

(32):

= SkjH − jQCH,kj

= −U k (U k −U j )

−

Uk2

jbC ,kj .

(37)

Мощность, текущая к узлу j из линии kj, в соответствии с (33) равна

= S

−

(

− jQ

= −U

(

−U

)

(38)

C ,kj )

C ,kj

Потери мощности S kj

в линии kj включают как потери в продольной

части линии Z kj , так и реактивную мощность, генерируемую в начале и в конце

S , т. е. в ее продольной и

линии. Потери текущих от узла

S kj можно определить как разность в линию kj и из линии kj к узлу j:

потоков мощности,

(

j )(

)

C ,kj

(39)

= S

− S

= − U

−U

−

jb .

Если просуммировать эти выражения по всем ветвям сложной системы,

то получим выражение для суммарных потерь мощности ЭЭС.

В тех случаях, когда в схеме замещения линии учитывается и активная проводимость на землю (рис. 1, в), в выражениях (32), (33), (37) - (39) следует

+j	1	bC ,kj	заменить на комплексные проводимости на землю	1	(gk ,kj	+ jbC ,kj ).
	2			2

Активные и реактивные составляющие потоков мощности в продольной части линии (рис. 1, б) можно определить по выражениям (34), (35). Например, из (34) следует

3U I

3U I ;

(40)

3U I

3U I ;

(41)

где

Pkj

Qkj -

активная и реактивная мощности в начале продольной части

линии kj,

Ikj ,

Ikj

активная и реактивная составляющие тока в линии kj;

Uk , U k

- активная и реактивная составляющие напряжения узла k.

Составляющие тока в линии kj можно определить следующим образом:

= −

(

U − U

)

−

(

U − U

;

(42)

j )

= −

(

U − U

)

−

(

U − U

;

(43)

j )

где

gkj ,

bkj -

активная и реактивная составляющие взаимной проводимости

между узлами k и j (равна проводимости ветви kj с обратным знаком).

Потери мощности в активном и индуктивном сопротивлениях линии,

т.е. в ее продольной части, равны разности потоков мощности в начале и в конце продольной части линии (рис. 1,б). Суммарные потери мощности в продольной части электрической сети можно определить, просуммировав потери мощности в продольной части всех линий, т. е. по следующему выражению:

H	K
(S kj	− S kj ),

где суммирование ведется по всем ветвям сети.

Суммарные потери мощности в сети

(44)

поперечной частях, получаются в результате добавления к (44) реактивной мощности, генерируемой в емкостных проводимостях линий.

Можно представить потери мощности в виде квадратичной формы от узловых напряжений. Потери мощности равны разности между мощностями генераторов и нагрузок в узлах. Если для генерирующего узла мощность и ток принимаются со знаком плюс, а для нагрузочного - со знаком минус, то потери мощности в сети с n+1 узлами определяются так:

n+1	n+1
S = S k	=
S = S k	=	3U k I k .
k =1	k =1

(45)

где S - это суммарные потери в продольной и поперечной частях сети. В матричном виде (45) можно записать следующим образом:

3 I

(46)

где

I - вектор-строка сопряженных узловых токов размерности (п+1);

U - вектор-столбец комплексных узловых напряжений размерности (п+1);

индекс «т» означает транспонирование матрицы.

Уравнение узловых напряжений с учетом правил действий с матрицами

можно записать в следующем виде:

3 I

= U

(47)

Если подставить (47) в (46), потери мощности можно вычислить по

следующей формуле:

= P

+ j Q

= U

(48)

где

YУ - полная комплексная матрица узловых проводимостей размерности

(п+1).

Выражение в правой части (48) называется квадратичной формой от напряжений. Если обозначим

Y	У	= G	− jB	Σ	;
	У			Σ

U	У	= U	+ jU ,
	У

то из (39) получим следующие выражения для потерь активной и реактивной мощностей:

P	= U		G U	+U		G	U ;
	T				T			(49)
								(49)
Q	T			T				(50)
Q	= U	B U		+U	B U .			(50)

В (49), (50) опущен индекс транспонирования у матриц G и B в силу их симметричности. В (49), (50) потери определяются как квадратичные формы от активных и реактивных составляющих напряжений узлов. Если

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен

#
06.02.20261.12 Mб0ВОРД_ГОТОВЫЙ.pdf
#
06.02.2026513.34 Кб0ЭЭС ч2 Лк Сложнозамк сети, 3.pdf
#
06.02.2026648.79 Кб0ЭЭС ч2, лк Сложнозапкн сети, 1.pdf
#
06.02.2026572.69 Кб0ЭЭС, ч. 2, лк. Сложнозамкн сети, 2.pdf
#
06.02.20263.1 Mб0ЭЭС, ч.2. Конструкт исполнение ВЛ през лк.pdf