Экзамен 5 сем Барабанов

ВОПРОСЫ

êэкзамену по квантовой механике (2025/2026 уч. год, осенний семестр)

1.Состояния квантовых систем, принцип суперпозиции, векторы состояний. Собственные векторы состояний и собственные значения физических величин. Скалярное произведение векторов состояний, базисные векторы, амплитуды и распределения вероятности, правило Борна. Условия нормировки базисных векторов.

2.Состояния квантовых систем, векторы состояний и их свойства: скалярное произведение векторов, базисные векторы, амплитуды и распределения вероятности, правило Борна. Условия нормировки базисных векторов. Волновые функции, представления.

3.Состояния квантовых систем, векторы состояний и их свойства: скалярное произведение векторов, базисные векторы, амплитуды и распределения вероятности, средние значения, дисперсии. Операторы физических величин, свойства операторов: линейность, эрмитовость. Собственные значения и собственные векторы.

4.Физические величины и операторы. Рассмотрите пример: частица массой m свободно движется вдоль оси x. Какие значения могут принимать координата x, импульс p, энергия E

частицы? Как выглядят собственные функции соответствующих операторов в координатном и импульсном представлениях?

5.Физические величины и операторы. Рассмотрите пример: частица массой m свободно движется в интервале 0 < x < a между непроницаемыми стенками. Какие значения могут принимать координата x, импульс p, энергия E частицы? Как выглядят собственные функции соответствующих операторов в координатном представлении?

6.Физические величины и операторы. Образуют ли собственные векторы оператора физиче- ской величины полный базис? Обсудите пример: собственные векторы оператора координаты в случае одномерного движения частицы, разложение вектора состояния частицы по собственным векторам оператора координаты. Векторы состояний и волновые функции.

7.Физические величины и операторы. Образуют ли собственные векторы оператора физи- ческой величины полный базис? Обсудите пример: собственные векторы оператора импульса в случае одномерного движения частицы, разложение вектора состояния частицы по собственным векторам оператора импульса. Векторы состояний и волновые функции.

8.Физические величины и операторы. Образуют ли собственные векторы оператора физи-

ческой величины полный базис? Обсудите пример: собственные функции гамильтониана частицы массой m в потенциальном поле U(x) = −(¯h2æ0/m)δ(x), ãäå æ0 фиксированный параметр.

9.Частица массой m движется вдоль оси x с энергией E и рассеивается на потенциальной

ступеньке: U(x) = 0, если x < 0, и U(x) = −U0 < 0, если x > 0. Вычислите вероятности того, что частица изменит или, наоборот, не изменит направление своего движения.

10.Частица массой m движется вдоль оси x с энергией E и рассеивается в потенциальном ïîëå U(x) = (¯h2æ0/m)δ(x), ãäå æ0 фиксированный параметр. Вычислите вероятности того, что частица изменит или, наоборот, не изменит направление своего движения.

11.Операторы физических величин в пространстве состояний и в пространствах волновых функций (представления операторов). Вид оператора в собственном представлении. Счи- тая известным вид операторов координаты и импульса в координатном представлении, найдите явный вид этих же операторов в импульсном представлении (для случая одномерного движения).

1

12.Операторы физических величин в пространстве состояний и в пространствах волновых функций (представления операторов). Вид оператора в собственном представлении. Счи- тая известным вид оператора потенциальной энергии U(x) в координатном представлении,

расскажите о способах получения явного вида этого оператора в импульсном представлении. Обсудите примеры: линейный осциллятор, δ-потенциал.

13.Частица движется в потенциальном поле U(x). Выведите уравнение, определяющее волновую функцию ψ(p) стационарного состояния частицы в импульсном представлении (счи-

тая известным уравнение, определяющее волновую функцию в координатном представлении). Как по известной функции ψ(p) найти явный вид волновой функции ψ(x) в координатном представлении?

14.Стационарное состояние частицы, движущейся вдоль оси x, описывается волновой функцией ψ(x), нормированной на единицу. Как вычисляются средние значения координаты

èимпульса частицы в этом состоянии? Как найти вероятность того, что при измерении импульса p этой частицы будут получены значения, лежащие в интервале от p1 äî p2?

15.Стационарное состояние частицы, движущейся вдоль оси x, описывается волновой функцией ψ(p), нормированной на единицу. Как вычисляются средние значения координаты

èимпульса частицы в этом состоянии? Как найти вероятность того, что при измерении координаты x этой частицы будут получены значения, лежащие в интервале от x1 äî x2?

16.Операторы физических величин, собственные значения и собственные векторы. Операторы в пространстве состояний и в пространствах волновых функций (представления операторов). Вид оператора в собственном представлении. Меняются ли коммутационные соотношения между операторами при переходе от одних представлений к другим? Пример: операторы координаты и импульса.

17.Матричные представления для векторов состояний и операторов. Векторы-столбцы, условия нормировки. Какими свойствами обладают эрмитовые операторы в матричных представлениях? Какую форму приобретают коммутационные соотношения между операторами при переходе к операторам в некотором матричном представлении? Обсудите в ка- честве примера операторы декартовых составляющих спина s частицы в случае s = 1/2.

18.Одновременная измеримость физических величин. Приведите примеры одновременно измеримых величин. Что называют полным набором физических величин, характеризующих заданную квантовую систему, например, в случае водородоподобного атома?

19.Оператор инверсии: является ли он линейным, эрмитовым? Каковы его собственные зна- чения и собственные функции? Какая физическая величина соответствует этому оператору? При каком условии эта физическая величина и энергия частицы, движущейся в потенциальном поле U(x), являются одновременно измеримыми?

20.Соотношение неопредел¼нности: формулировка и вывод. Приведите примеры величин, для которых справедливы соотношения неопределенности. Что называют сжатыми квантовыми состояниями?

21.Соотношение неопредел¼нности: формулировка и вывод. Что называют сжатыми квантовыми состояниями? Может ли частица, свободная или движущаяся в некотором потенциальном поле U(x), находиться в сжатом состоянии? Если да, то какова волновая функция такого состояния?

22.Соотношение неопредел¼нности: формулировка и вывод. Являются ли проекции спина s = 1/2 частицы на оси x, y и z одновременно измеримыми величинами? Если нет , то сформулируйте соотношения неопредел¼нности для этих проекций.

2

23.Состояние частицы массой m, движущейся в потенциальном поле U(x) = mω2x2/2, в момент t = 0 задано волновой функцией ψ(x), нормированной на единицу и не совпадающей ни с одной из функций ψn(x) стационарных состояний. Как найти вероятность того, что при измерении энергии частицы в некоторый момент t > 0 получится значение En? Êàê вычислить среднюю энергию E частицы в момент t?

24.Линейный гармонический осциллятор. Введите операторы aˆ и aˆ† и, пользуясь ими, полу- чите энергетический спектр осциллятора.

25.Линейный гармонический осциллятор. Считая известными свойства операторов aˆ и aˆ†, получите формулу, связывающую n-й вектор стационарного состояния |n с вектором

основного состояния |0 , и найдите явные выражения для волновых функций ψn(x) стационарных состояний в координатном представлении.

26.Динамика замкнутых систем: представление Гейзенберга. Классическая динамика и урав-

нение Гейзенберга для оператора ˆ

AH (t). Связь между коммутаторами и скобками Пуассона. Найдите значения коммутаторов [ˆxi, pˆj], ãäå xˆi è pˆj операторы обобщ¼нных координат и импульсов, основываясь на значениях скобок Пуассона {xi, pj}.

27. Динамика замкнутых систем: представление Гейзенберга.Классическая динамика и уравнение Гейзенберга для оператора ˆ

AH (t). Какие величины в квантовой механике называют сохраняющимися? Условие сохранения физической величины. Связь между коммутаторами и скобками Пуассона. Формальное решение уравнения Гейзенберга, оператор эволюции.

28.Динамика замкнутых систем: операторы физических величин и состояния в представлениях Гейзенберга и Шредингера. Считая известными уравнения Гейзенберга для операторов физических величин, получите уравнение Шредингера для векторов состояний. Условие сохранения физической величины в представлении Шредингера. Стационарные состояния. Оператор эволюции. Общее решение уравнения Шредингера.

29.Уравнение Шредингера для частицы массой m в потенциальном поле U(r ) в координатном представлении. Выведите связь между плотностью вероятности ρ(r, t) обнаружить

частицу в заданной точке в заданный момент времени и плотностью потока вероятности

j(r, t) (уравнение непрерывности). Стационарные и нестационарные состояния частицы.

30.Уравнение Шредингера для свободного движения частицы массой m. Волновая функция

свободно движущейся частицы (волна де Бройля). Условие нормировки, нормировочный коэффициент волны де Бройля. Стационарные и нестационарные состояния свободного движения частицы.

31.Квантовая динамика замкнутых систем в представлениях Гейзенберга и Шредингера. Считая известным уравнение Шредингера для векторов состояний, получите уравнения Гейзенберга для операторов физических величин. Рассмотрите пример: свободное движение частицы вдоль оси x. Найдите явный вид гейзенберговских операторов xˆH (t) è pˆH (t), а также средние значения x и p , зависящие от t.

32.Квантовая динамика замкнутых систем в представлениях Гейзенберга и Шредингера. Считая известным уравнение Шредингера для векторов состояний, получите уравнения Гейзенберга для операторов физических величин. Рассмотрите пример: движение заряженной частицы вдоль оси x в постоянном электрическом поле E. Найдите явный вид операторов xˆH (t) è pˆH (t), а также средние значения x и p , зависящие от t.

3

33. Квантовая динамика замкнутых систем в представлениях Гейзенберга и Шредингера. Считая известным уравнение Шредингера для векторов состояний, получите уравнения

Гейзенберга для операторов физических величин. Рассмотрите пример: движение частицы массой m в поле U(x) = mω2x2/2. Найдите явный вид операторов xˆH (t) è pˆH (t), à

также средние значения x и p , зависящие от t.

34. Квазиклассическое приближение, условие применимости. Волновая функция частицы в классически разрешенной и запрещенной областях (без детального вывода условий сшивки). Правило Бора Зоммерфельда. Фазовый объ¼м, приходящийся на одно квантовое состояние.

35. Квазиклассическое приближение, условие применимости. Особенности использования квазиклассического приближения для нахождения энергетического спектра частицы в сферически симметричной потенциальной яме. Пример: найдите энергии s-волновых со-

стояний частицы в потенциале объ¼много осциллятора.

36. Туннельный эффект. Можно ли использовать квазиклассическое приближение для его описания? Выведите (в этом приближении) выражение для волновой функции частицы в классически запрещенной области. Вероятность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер в квазиклассическом приближении (без детального вывода).

37. Частица обладает спином 1/2. Выпишите явные выражения для составляющих оператора

спина ˆ

s. Что называют спинором? Установите, какие значения может принимать проекция спина λ на оси x, y и z, а также найдите явные выражения для спиноров φλ, описывающих состояния с определ¼нными λ на оси x и z.

38. Частица обладает спином 1/2. Выпишите явные выражения для составляющих оператора

спина ˆ

s. Что называют спинором? Установите, какие значения может принимать проекция спина λ на оси x, y и z, а также найдите явные выражения для спиноров φλ, описывающих состояния с определ¼нными λ на оси y и z.

39. Частица обладает спином 1/2. Явный вид оператора спина ˆ

s, спиноры. Установите, какие значения может принимать проекция спина λ на произвольный единичный вектор n, а также найдите явные выражения для спиноров φλ, описывающих состояния с определ¼н- íûìè λ.

40. Частица обладает спином 1/2. Явный вид оператора спина ˆ

s, спиноры. Найдите явное выражение для спинора φ, описывающего состояние частицы со спином, направленным

| | è

вдоль некоторого единичного вектора n. Вычислите составляющие вектора P = φ σ φ объясните, каков физический смысл этих составляющих.

41. Спиновое состояние частицы со спином 1/2 описывается нормированным на единицу спи-

!

a

нором φ = b . Каков физический смысл a и b? Каковы средние значения проекций спина на оси x, y и z в этом состоянии? Существует ли такое направление n, что сред-

нее значение спина на это направление равно 1/2? Если да, то объясните, как найти это направление.

ˆ

42. Частица со спином 1/2 и магнитным моментомµ = µσ помещается в постоянное магнитное

ïîëå

H, направленное вдоль оси z. В начальный момент времени частица находится в состоянии с проекцией λ = 1/2 спина на ось x. Пользуясь представлением Шредингера,

| | . найдите спинор φ(t) и вектор P (t) = φ(t) σ φ(t)

4

ˆ

43. Частица со спином 1/2 и магнитным моментомµ = µσ помещается в постоянное магнитное

ïîëå

H, направленное вдоль оси z. В начальный момент времени частица находится в состоянии φ с проекцией λ = 1/2 спина на ось x. Пользуясь представлением Гейзенберга,

44. Частица в центральном поле U(r). Полный набор физических величин, характеризующих

ˆ 2

ˆ ˆ ˆ

эту систему. Вычислите коммутаторы [ li, lj], [ li, l ]. Объясните, как связаны рассмотренные операторы со сферическими функциями Ylm(θ, φ). Какими свойствами обладают сферические функции (без вывода)?

45.Частица в центральном поле U(r). Полный набор физических величин, характеризующих

эту систему. Докажите, что орбитальный момент частицы сохраняется. Уравнения для сферических функций. Как эти функции зависят от полярного угла θ (без вывода) и азимутального φ (с выводом)? Пространственная ч¼тность сферических функций (без вывода).

46.Частица в поле U(r) = mω2r2/2, схема решения в декартовых и сферических координатах. Уравнение для радиальной функции, е¼ асимптотическое поведение при r → 0 и r → ∞.

Пользуясь известными ответами для линейного осциллятора, найдите энергии и кратности вырождения основного, 1-го и 2-го возбужд¼нных состояний. Объясните (без вывода), как эти же ответы получаются в сферических координатах.

47.Водородоподобный атом. Волновая функция, стационарные состояния. Уравнение для радиальной функции Rnl(r), е¼ асимптотическое поведение при r → 0 и r → ∞. Объясните без детального вывода, как выглядит Rnl(r), и нарисуйте для иллюстрации графики для n = 1, 2, 3. Расскажите (без вывода) об энергии, ч¼тности и кратности вырождения стационарных состояний.

48.Электрон находится в основном состоянии атома трития. При бета-распаде тритон испус-

кает две быстро удаляющиеся частицы, электрон и электронное анитинейтрино, и превращается в ядро 3He. Найдите вероятность того, что образующийся водородоподобный атом

оста¼тся в основном состоянии. Вычислите среднюю энергию атома сразу после распада.

49.Упругое рассеяние частицы на неподвижном потенциальном центре. Постановка задачи. Амплитуда рассеяния, дифференциальное сечение рассеяния.

50.Упругое рассеяние частицы на потенциальном неподвижном центре. Метод парциальных волн. Уравнение для радиальных функций, сферические функции Бесселя, Неймана и Ганкеля. Разложение амплитуды рассеяния по полиномам Лежандра (формула Хольцмарка).

51.Упругое рассеяние частицы на потенциальном неподвижном центре. Метод парциальных волн. Радиальные функции, сферические функции Ганкеля. Формула Хольцмарка (без детального вывода). Фазы рассеяния, дифференциальное и полное сечение рассеяния.

52.Постановка квантовой задачи рассеяния, амплитуда и дифференциальное сечение рассеяния (без вывода). Уравнение Липпмана Швингера в применении к задаче рассеяния, борновский ряд, 1-е борновское приближение. Объясните (без подробностей), как уравнение Липпмана Швингера может быть использовано для решения задачи рассеяния.

53.Постановка квантовой задачи рассеяния, амплитуда и дифференциальное сечение рассеяния (без вывода). Выведите интегральное уравнение для волновой функции (включая явное выражение для функции Грина задачи рассеяния). Объясните (без подробностей), как интегральное уравнение может быть использовано для решения задачи рассеяния.

5

54.Постановка квантовой задачи рассеяния, амплитуда и дифференциальное сечение рассеяния (без вывода). Получите интегральное уравнение для волновой функции (воспользуйтесь, без вывода, явным выражением для функции Грина задачи рассеяния). Выведите формулу, связывающую амплитуду рассеяния и рассеивающий потенциал, а также полу- чите выражение для амплитуды в борновском приближении.

55.Постановка квантовой задачи рассеяния (без подробностей). Выпишите (без вывода) интегральное уравнение рассеяния и формулу, связывающую амплитуду рассеяния и рассеивающий потенциал. Выведите выражение для амплитуды рассеяния в борновском приближении и установите условия применимости этого приближения для медленных (с выводом) и быстрых (без вывода) частиц.

56.Медленные частицы массой m рассеиваются на потенциальном шаре радиусом R и вы-

сотой U0. При каких значениях U0 может быть использовано борновское приближение? Вычислите в борновском приближении полное сечение рассеяния частиц. При каких энергиях E падающих частиц справедлив результат, полученный для сечения?

57.Быстрые (но нерелятивистские, v/c 1) частицы массой m рассеиваются в потенциальном поле U(r) = βe−γr/r. При каких значениях β может быть использовано борновское

приближение? Вычислите в борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния частиц. Справедлив ли полученный результат в пределе γ → 0 ? Если да , то

согласуется ли он с известным классическим результатом для этой же задачи? При каких значениях v/c справедлив результат, полученный для сечения?

6