Введение в ядерную физику / Voprosy_1-9_Svoystva_yader_modeli_yader

Вопрос – 1. Состав ядра, его размер и масса. Радиоактивность. Размер ядра.

Параллельно с развитием идей квантовой теории развивались представления о строении материи. Одна из первых моделей атома была предложена в 1904 году Томсоном. Согласно модели Томсона атом представлял собой нейтральную систему, состоящую из заряженного шара с зарядом +Ze, внутри которого в определенных равновесных положениях находятся Z отрицательно заряженных электронов. Атомное ядро было открыто в 1911 г. в результате серии экспериментов по рассеянию альфа-частиц тонкими золотыми и платиновыми фольгами, выполненным в Кембридже (Англия) под руководством Э. Резерфорда. В 1932 г. после открытия там же Дж. Чедвиком (Д. Д. Иваненко) нейтрона стало ясно, что ядро состоит из протонов и нейтронов.

Атомное ядро – центральная и очень компактная часть атома, в которой сосредоточена практически вся его масса и весь положительный электрический заряд. Ядро, удерживая вблизи себя кулоновскими силами электроны в количестве, компенсирующем его положительный заряд, образует нейтральный атом. Большинство ядер имеют форму близкую к сферической и диаметр ≈ 10-12 см, что на четыре порядка меньше диаметра атома (10-8 см). Плотность вещества в ядре – около 230 млн. тонн/ (порядка ). Эмпирическая формула для расчета радиуса ядра:

Число нуклонов в ядре A = Z + N называется массовым числом.

Различные типы ядер часто называют нуклидами. Нуклиды с одинаковым числом протонов и разным числом нейтронов называют изотопами. Нуклиды с одинаковым числом нуклонов, но разным соотношением протонов и нейтронов называются изобарами.

Методы измерения масс ядер:

1)Масс-спектрометрия

2)Энергетический анализ ядерных реакций

3)Баланс альфа и бета распадов

4)Микроволновая радиоспектрометрия

∑

Лѐгкие ядра содержат примерно равные количества протонов и нейтронов. У тяжѐлых ядер число нейтронов примерно в 1,5 раза превышает число протонов. Самое лѐгкое ядро – ядро атома водорода, состоящее из одного протона. У наиболее тяжелых известных ядер (они получены искусственно) число нуклонов ≈ 290. Из них 116-118 протонов (поэтому заряд тяжелых ядер принимается примерно равным 100).

Различные комбинации количества протонов Z и нейтронов соответствуют различным атомным ядрам. Атомные ядра существуют (т.е. их время жизни t > 10-23 c) в довольно узком диапазоне изменений чисел Z и N. При этом все атомные ядра делятся на две большие группы - стабильные и радиоактивные (нестабильные). Стабильные ядра группируются вблизи линии стабильности, которая определяется уравнением :

Радиоактивность – самопроизвольные превращения атомных ядер, сопровождающиеся испусканием элементарных частиц или более лѐгких ядер. Ядра, подверженные таким превращениям, называют радиоактивными, а процесс превращения – радиоактивным распадом. Радиоактивный распад возможен только тогда, когда он энергетически выгоден, т.е. сопровождается выделением энергии. Условием этого является превышение массы М исходного ядра суммы масс mi продуктов распада.

Из около 3000 известных ядер (большинство из них получено искусственно) лишь 264 не являются радиоактивными. Основными видами радиоактивного распада являются

1.Альфа-распад – испускание ядрами альфа-частиц

2.Бета-распад – испускание (или поглощение) электрона, а также антинейтрино, или испускание

позитрона и нейтрино

3.Гамма-распад – испускание гамма-квантов

4.Спонтанное деление – распад ядра на два осколка сравнимой массы

Кболее редким видам радиоактивного распада относятся испускание ядрами одного или двух нуклонов,

атакже испускание фрагментов (кластеров) – лѐгких ядер от 12С до 32S. Во всех видах радиоактивности

(кроме гамма-радиоактивности) изменяется состав ядра – число протонов Z , массовое число А или и то и другое.

Закон радиоактивного распада, показывающий как со временем t изменяется (в среднем) число N радиоактивных ядер в образце :

где N0 – число исходных ядер в начальный момент (момент их образования или начала наблюдения), а λ – постоянная распада (вероятность распада радиоактивного ядра в единицу времени). Через эту постоянную можно выразить среднее время жизни радиоактивного ядра

,

а также период полураспада:

Вопрос – 2. Энергия связи. Удельная энергия связи. Основные свойства ядерных сил.

Энергия связи ядра – минимальная энергия, необходимая для того, чтобы разделить ядро на составляющие его нуклоны (протоны и нейтроны).

Ядро – система связанных нуклонов, состоящая из Z протонов (масса протона в свободном состоянии ) и N нейтронов (масса нейтрона в свободном состоянии ).

Для того, чтобы разделить ядро на составные нуклоны, нужно затратить определенную минимальную энергию W, называемую энергией связи. При этом покоящееся ядро с массой

переходит в совокупность свободных покоящихся протонов и нейтронов с суммарной массой

Зависимость удельной энергии связи ядра ε от числа нуклонов А в стабильных ядрах

Свойства ядерных сил: (Вариант Саши Андоминой)

1.Малый радиус действия – порядка 1 фм

2.Зарядовая независимость

3.Большая величина ядерного потенциала – примерно 50 МэВ

4.Обладают свойством насыщения

5.Зависимость от спинов взаимодействующих частиц и от взаимной ориентации спинов и орбитальных моментов нуклонов

6.Обменный характер ядерного взаимодействия

7.При расстоянии между нуклонами больше 1 фм – отталкивание (при меньшем -

притяжение)

8.Тензорный характер взаимодействия нуклонов

Свойства ядерных сил (Вариант с прошлого года)

1. Ядерные силы имеют характер притяжения, которое с избытком компенсирует кулоновское расталкивание протонов между собой

2. Большая интенсивность ядерного взаимодействия (чем интенсивность электромагнитного взаимодействия в 10^2 – 10^3 раз).

3. Насыщение ядерных сил, т. е. способность нуклона к взаимодействию не со всеми окружающими его кулонами, а только с ограниченным их числом (Насыщение тесно связано с короткодействием)

4. Ядерные силы зависят от спина

6.Зеркальные ядра (отличаются заменой протонов на нейтроны и наоборот) совпадают с точностью до поправки на добавочную кулоновскую энергию взаимодействия у ядра с избыточным числом протонов

Гипотеза о зарядовой независимости ядерных сил(из троек ядер):

8. Удельная энергия связи нуклонов в ядре является мерой прочности ядра. Наиболее велика у четно четных ядер

Вопрос - 3. Капельная модель ядра. Полуэмпирическая формула Вайцзеккера для энергии связи.

В этой модели ядро рассматривается как сферическая капля несжимаемой заряженной ядерной жидкости радиуса . С ее помощью удалось объяснить многие свойства ядра и получить полуэмпирическую формулу для энергии связи ядра.

При чем капля обладает следующими свойствами:

2)Каждый нуклон взаимодействует только с соседями (насыщение ядерных сил)

Напомним, эмпирическая формула выглядит следующим образом:

Полуэмпирическая же, выведенная Вайцзеккером, выглядит так:

( )

Здесь первое слагаемое получено предположения, что все нуклоны ядра равноценны и каждый взаимодействует только с близлежащими соседями – как молекулы в капле жидкости. Оно соответствует поверхностной энергии ядра.

Второе соответствует объемной энергии, и получено из предположения о том, что у нуклонов, находящихся на поверхности ядра, непосредственных соседей меньше, чем у нуклонов, расположенных внутри него, а общее число «поверхностных» нуклонов пропорционально площади поверхности ядра.

Третье слагаемое соответствует электростатической энергии. Оно обусловлено кулоновским взаимодействием протонов.

Еще два члена не могут быть обусловлены капельной моделью и вводятся , чтобы формула соответствовала экспериментальным данным. Четвертое слагаемое – сумма кинетической и потенциальной энергий симметрии. Пятое слагаемое – парная энергия (энергия разрыва нуклонной пары) вводится чтобы учесть скачкообразное изменение энергии при добавлении или удалении нуклона к ядру.

+34 МэВ, для четно-четных ядер

0 МэВ, для четно-нечетных ядер

-34 МэВ, для нечетно-нечетных ядер

Вклад различных видов энергий показан на рисунке ниже.

Наиболее устойчивы ядра с Z N

Четно-четные – самые устойчивые, в то время как нечетно-нечетные – напротив самые неустойчивые

Зеркальные ядра отличаются заменой протонов на нейтроны (например, у первого Z=a, N=b, тогда у второго – зеркального – Z=b, N=a), при этом массовое число А=Z+N остается неизменным

Вследствие зарядовой независимости ядерных сил такие ядра имеют похожие спектры возбужденных состояний, одинаковые спин и четность, а также изоспин.

Их массы, тем не менее, различаются.

Недостатки капельной модели:

1)Не объясняет наличия магических чисел, т.е. ядер, содержащих 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 нуклонов одного сорта (собственно, сами магические числа ), которые особенно стабильны

2)Неприменима для описания возбужденных состояний ядер

Вопрос - 4. Модель Ферми-Газа. Изотопический спин (определение понятия и применение в модели Ферми-Газа). Импульс Ферми. Уровни возбуждения в потенциальной яме.

(*В этом абзаце инфа с сайта nuclphis мгушного – не уверен, что у нас это было)В модели Фермигаза (ФГМ) нуклоны в ядре рассматриваются как нерелятивистские фермионы, движущиеся в потенциальной яме. Главным допущением модели является предположение, что линейные размеры ямы гораздо больше нуклонных длин волн:

В этой модели рассматривается движение невзаимодействующих друг с другом нуклонов в области объемом V, в пределах которой потенциал считается постоянным (в усредненной потенциальной яме с

– нейтрон. Ниже в разделе про изоспин поясняется этот момент), p – импульс нуклона, r – радиус-вектор нуклона, а = 6,5820· МэВ·сек - постоянная Планка.

На каждом нейтронном (или протонном) уровне могут, в соответствии с принципом Паули, находится только два нейтрона (или протона), имеющие разные проекции спина. В основном состоянии ядра N нейтронов и Z протонов занимают самые низшие энергетические уровни. Граница, разделяющая заполненные и незаполненные одночастичные уровни, называется границей (уровнем) Ферми.

Максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми:

Тогда

Объем ямы равен объему ядра

Глубина потенциальной ямы

(*) Для тяжелых ядер кулоновское взаимодействие более сильное, вследствие чего нейтронная половина ямы глубже – энергетически выгоднее заполнение ядра избыточным числом нейтронов, чем протонов

Среднее число одночастичных состояний нейтрона или протона в элементе импульсного представления дается выражением:

Откуда получим следующие формулы для полного числа нейтронов и протонов в ядре:

Ну и наконец формулы для импульсов:

Изотопический спин (изоспин) — одна из внутренних характеристик (квантовое число), определяющая число зарядовых состояний адронов. В частности, протон и нейтрон (нуклоны) различаются значением проекции изоспина, тогда как абсолютные значения его одинаковы.

С точки зрения сильного взаимодействия, протон и нейтрон являются одинаковыми частицами, а многие другие свойства у них также близки. Поэтому была разработана модель, по которой любой нуклон обладает изотопическим спином, равным 1/2, у которого есть две возможные «проекции» в особом изотопическом пространстве. Когда проекция изотопического спина равна +1/2, то нуклон становится протоном, а когда

−1/2 — нейтроном.

(Я слишком поздно заметил этот кусок, поэтому вставлю его просто вот так. Если успею, переделаю, если нет – ну, останется как есть)

Вопрос – 5. Оценка глубины потенциальной ямы и средней энергии в модели Ферми-Газа.

(У Саши этого вопроса не было, либо она забыла скинуть, так что инфу брал опять же с сайта nuclphis)

Граница, разделяющая заполненные и незаполненные одночастичные уровни, называется границей (уровнем) Ферми. Соответствующие им импульсы протонов и нейтронов обозначаются как соответственно.

формулы для импульсов:

Тогда считая ядро симметричным (A=2*Z=2*N; N=Z), можно получить следующую оценку импульса Ферми:

Если судить по найденной величине энергии Ферми, то в экспериментах при малых и средних энергиях ядро может рассматриваться как сильно вырожденный ферми-газ (т.е. температура его близка к абсолютному нулю). Лишь при энергиях МэВ будет возбуждаться заметная часть всех нуклонов.

С помощью соотношения (***) можно оценить глубину нуклонной потенциальной ямы. Так как средняя энергия связи нуклона в ядре МэВ, то получаем значение МэВ. Полную кинетическую энергию ферми-газа получим путем суммирования по всем занятым нейтронным и протонным одночастичным состояниям:

Область применения модели ферми-газа все же не очень велика, поскольку она совершенно не учитывает индивидуальных особенностей ядер. Кроме перечисленного, модель ферми-газа еще используется при интерпретации данных ядерных реакций, чувствительных к распределению нуклонов внутри ядра по импульсу.