Методичка КОЭ

Рис. 1.11. Оптические переходы

Оптические переходы удобно изображать с помощью энергетической диаграммы (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Двухуровневая энергетическая диаграмма

Применительно к простейшей, двухуровневой схеме оптических переходов диаграмма имеет два энергетических уровня. В общем случае структура энергетических уровней определяется свойствами частицы. Рассмотрим более подробно различные виды оптических переходов.

1.3.1. Спонтанное излучение

Необходимым условием для возникновения спонтанного излучения является наличие в системе атомов возбужденных частиц, получивших дополнительную энергию от каких-либо внешних источников. Спонтанное излучение – самопроизвольное излучение, кванты формируются в результате релаксации возбужденных частиц полностью независимо друг от друга в различные моменты времени. Это приводит к тому, что все направления распространения спонтанных квантов равновероятны, фазы отдельных волн и виды

11

их поляризации различны. Если ограничиться рассмотрением квантов спонтанного излучения двухуровневой системы, то у них одинаковыми будут только энергии, а следовательно, частоты и длины волн. Корреляция между остальными параметрами спонтанных квантов будет отсутствовать.

В начале ХХ века Эйнштейн ввел специальные коэффициенты для описания различных оптических переходов и установил связь между ними. Для спонтанного излучения на фиксированной длине волны Эйнштейн ввел ко-

эффициент А21, равный обратному времени t2 жизни возбужденной частицы в верхнем энергетическом состоянии А* с энергией W2 (рис. 1.13), и назвал этот коэффициент вероятностью спонтанного излучения частицы. Строго говоря, называть коэффициент А21 вероятностью некорректно, поскольку он выражается в обратных секундах. По физическому смыслу А21 показывает,

сколько раз за 1 с частица А с временем жизни t2 может излучить спонтанные кванты, т. е. определяет количество спонтанных излучательных переходов частицы в единицу времени или их частоту Fсп1 = А21 = 1/tж = 1/t2 [с–1].

Если концентрация возбужденных частиц в системе равна n2(А*), то количество спонтанных переходов в единице объема определится как

Пусть система имеет произвольный объем V. Тогда для мощности спонтанного излучения с фиксированной энергией квантов hν можно записать

Рсп n2VА21hν .

В общем случае в многоуровневой системе в результате спонтанных переходов будут генерироваться кванты с различной энергией (рис. 1.14).

12

В результате будет формироваться резонансное и нерезонансное излучение. Резонансная часть спонтанного излучения возникает при переходах с нижних уровней возбуждения, которые, как говорят, оптически связаны с основным (нулевым) энергетическим состоянием. Кванты резонансного излучения обладают достаточно большой энергией и способны возбуждать частицы, находящиеся в основном состоянии. Таким образом, собственное резонансное излучение может поглощаться самой системой частиц. Спонтанные переходы между близко расположенными верхними уровнями возбуждения формирует нерезонансное излучение с относительно малой энергией квантов.

1.3.2. Вынужденное излучение

Вынужденное, или индуцированное, излучение происходит под влиянием внешних сил. Предсказал его существование Эйнштейн. Для возникновения индуцированного излучения в атомной системе необходимым условием является наличие возбужденных частиц и внешнего электромагнитного излучения (внешних квантов). Достаточным условием возникновения вынужденного излучения является равенство энергии внешнего (первичного)

кванта разностной энергии верхнего W2 и нижнего W1 энергетических состо-

яний частиц: hνп = W2 – W1 (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Стадии формирования индуцированного излучения

В результате взаимодействия первичного кванта с возбужденной частицей, находящейся в состоянии W2, частица девозбуждается и излучает вторичный квант-двойник hνвт, полностью идентичный первичному кванту. Совпадают все параметры вторичного (индуцированного) и первичного квантов: энергии hνвт = hνп, а следовательно, частоты νвт = νп; длины волн

λвт = λп; фазы колебаний φвт = φп; направления распространения nвт nп ; вид поляризации.

13

В частности для линейной поляризации векторы напряженности электрического поля вторичной и первичной волн коллинеарны.

При рассмотрении поведения первичных и вторичных волн окажется, что все вторичные волны, возникающие в различные моменты времени, будут синфазны с первичной волной (рис. 1.16, а). Такие синфазные волны сформируют в пространстве множество синхронных колебаний, поверхность равной фазы которых (ПРФ), или фронт волны, будет иметь вид плоскости

(рис. 1.16, б).

Благодаря самому принципу возникновения параметры отдельных волн индуцированного (вынужденного) излучения взаимно обусловлены. Для описания этой обусловленности в квантовой электронике используют понятие «когерентность» – корреляция, взаимосвязь параметров волн, в частности их фаз. Говорят, что отдельные волны индуцированного излучения когерентны. Различают пространственную и временную когерентность. Излучение с плоским волновым фронтом обладает идеальной, 100%-й пространственной когерентностью и формирует нерасходящийся пучок. Реально всегда существует разброс квантов по направлениям распространения. Если принять, что волны индуцированного излучения исходят из одной точки, то разброс по направлениям приведет к трансформации поверхности равной фазы. В пределах пучка индуцированного излучения ПРФ превратится в участок сферы радиуса R, что приведет к увеличению расходимости потока квантов. Чем больше разброс, тем меньше R и больше расходимость пучка. В таких случаях говорят о степени пространственной когерентности, которая обратно пропорциональна R.

14

Овременной когерентности волн судят по неизменности разности фаз

вфиксированной точке пространства в разные моменты времени. Изменения фазы будут отсутствовать, если генерируется идеальное монохроматическое излучение со строго неизменной длиной волны (частотой). Такое излучение обладает 100%-й временной когерентностью. Идеальной монохроматичностью может обладать только бесконечно длящиеся колебания. В силу конечности времени жизни возбужденных частиц процессы излучения являются затухающими, вследствие чего происходит изменение частоты колебаний во времени. Наличие разброса частот приводит к изменению разности фаз и снижению степени временной когерентности. Если степень пространственной и временной когерентности близка к 1 (100 %), то излучение называют полностью когерентным.

Для того чтобы получить поток индуцированного излучения, можно использовать систему возбужденных частиц А* и направить на нее первич-

ный квант с энергией hνп = W2 – W1 (рис. 1.17). Первичный квант может быть внешним или собственным спонтанным квантом системы. После первого взаимодействия первичного кванта с возбужденной частицей возникнет вторичный квант-двойник. При последующих взаимодействиях оба кванта являются внешними для других возбужденных частиц и порождают 4, затем 8, 16, 32 квантов и т. д. В итоге получается лавина с числом квантов Nкв = 2n , где n – число взаимодействий квантов. Это означает, что принцип индуцированного излучения позволяет усилить поток квантов или реализовать оптическое усиление. Между соседними взаимодействиями с возбужденными частицами квант пролетает отрезок пути, равный средней длине свободного пробега λкв = 10–4…101 м. Конкретные значения λкв определяются свойствами оптических сред.

Для описания индуцированного излучения Эйнштейн ввел коэффициент В21. Поскольку речь идет об индуцированных процессах, вызываемых внешними квантами, то вероятность по Эйнштейну индуцированного излучения одной частицы (количество индуцированных квантов, формируемых в единицу времени) пропорциональна объемной спектральной плотности энер-

гии Fинд1 В21w [c–1].

15

λкв λкв

Рис. 1.17. Формирование потока индуцированных квантов

Действуя аналогично случаю спонтанного излучения, при концентрации возбужденных частиц в равной n2(А*), для количества индуцированных

Тогда для мощности индуцированного излучения системы объемом V и фиксированной энергией квантов hν запишем

Pинд Vn2 B21w hν [Дж · с–1; Вт].

1.3.3. Вынужденное поглощение

Внешний квант может взаимодействовать не только с возбужденной частицей, но и частицей, находящейся на нижнем энергетическом уровне. В

результате вынужденного поглощения квант с энергией hν = W2 – W1 захватывается невозбужденной частицей (А), которая переходит после этого в возбужденное состояние А* (рис. 1.18). Для описания индуцированного поглощения Эйнштейн ввел коэффициент В12. По Эйнштейну, вероятность индуцированного поглощения частицы (количество индуцированных квантов, поглощаемых частицей в единицу времени), как и вероятность индуцированного излучения, пропорциональна объемной спектральной плотности энергии

16

Fп1 В12 w [c–1]. Тогда количество актов индуцированного поглощения в единице объема системы с концентрацией частиц в нижнем энергетическом

1.3.4. Связь между коэффициентами Эйнштейна

Процессы излучения и поглощения квантов в системе изменяют концентрации частиц на энергетических уровнях и, следовательно, влияют друг

на друга. Для установления связи между введенными коэффициентами А21,

В21 и В12 Эйнштейн рассматривал простейшую двухуровневую систему, находящуюся в термодинамическом равновесии (ТДР) с окружающей средой. При ТДР для концентраций частиц на энергетических уровнях Wi справедливо распределение Больцмана

Wi

ni gi n0e kT ,

где gi – коэффициент вырождения – целое число, показывающее какое количество энергетических уровней с одинаковой энергией, но разными наборами квантовых чисел (n, m l, s) может находиться в системе. В условиях ТДР температура среды Т = const, а подводимая и отводимая энергии равны. Если говорить об излучающей системе, то в равновесном состоянии концентрации частиц на энергетических уровнях должны быть неизменны во времени: n1, n2 = const (t). Это условие требует, чтобы скорости изменения концентра-

ции были нулевыми: dndti 0 . Следовательно, при ТДР в излучающей систе-

ме оптические переходы сверху вниз (2 → 1) должны уравновешиваться пе-

17

реходами снизу вверх (1 → 2). Иными словами, излучение квантов должно уравновешиваться их поглощением: Рсп + Ринд = Рп. Воспользовавшись выражениями для мощностей из 1.3.1–1.3.3 и сократив общие сомножители, для равновесной излучающей системы получим: n2 А21 n2В21w n1B12w . Отсюда для спектральной плотности энергии

условиях ТДР Т→ ∞, то и уровень излучения должен бесконечно возрастать,

а следовательно, и wν → ∞. В выражении (1.1) числитель А21 = 1/t2 – конеч-

h

ная величина, e kT 1 при Т . Тогда для выполнения условия ων → ∞

требуется, чтобы В12g1/g2 = В21, откуда получается первое соотношение для коэффициентов Эйнштейна:

трансформируется к виду B12 = B21.

Для установления связи между коэффициентами Эйнштейна для оптических процессов спонтанного и индуцированного излучения воспользуемся

(1.1) и (1.2), полагая B12 = B21:

Из (1.3) можно установить связь между А21 и B21 , если каким-либо образом выразить через параметры излучающей системы. Эйнштейн воспользовался известным к тому времени выражением для плотности мощности излучения нагретого тела. В условиях ТДР оптическое излучение идеального

18

(абсолютно черного) нагретого тела с высокой точностью описывается формулой Планка:

где I 0T – спектральная плотность мощности в масштабе длины волны для абсолютно черного тела (АЧТ).

Можно найти связь между I 0T и w0T , используя соотношения между спектральными плотностями мощности и энергии для ненаправленного по-

Выражение (1.5) называют вторым соотношением между коэффициен-

тами Эйнштейна. Соотношения между коэффициентами Эйнштейна, несмот-

ря на кажущуюся простоту, являются базовыми для квантовой электроники.

1.3.5. Анализ соотношений между коэффициентами Эйнштейна

1. Из первого соотношения для коэффициентов Эйнштейна: B12 = B21

следует, что при wν = const (t), различие в количестве индуцированных излучательных и поглощательных переходов в единицу времени в единичном объеме будет определяться только отличием концентраций частиц на соответствующих энергетических уровнях. В условиях ТДР, когда n1 > n2, по-

глощение будет всегда превалировать над излучением: n1B12wν > n2B21wν.

19

2.Первое и второе соотношения для коэффициентов Эйнштейна, полученные на основе выражений для нагретого тела, не включают температуру. Следовательно, они справедливы для любого типа источника – являются универсальными.

3.Из второго соотношения следует, что при уменьшении длины волны

отношение А21 / В21 возрастает. Отсюда следует, что при wν = const уменьшение λ сопровождается увеличением доли спонтанного излучения по сравнению с индуцированным. Рассмотрим причину этой закономерности. Если оставаться в рамках двухуровневой модели излучающей среды, то спад λ вызывает снижение энергии кванта εкв = W2 – W1 = hν = hc/ λ. Это эквивалент-

но повышению энергии верхнего уровня W2 при неизменном нижнем W1. С физической точки зрения рост энергии уровня усиливает неустойчивость возбужденной системы, стремящейся к состоянию с минимальной энергией. Неустойчивая возбужденная система релаксирует быстрее, время жизни на верхнем уровне t2 уменьшается, и, как следствие, растет количество спонтан-

ных переходов А21 = 1/t2. Таким образом, при прочих равных условиях индуцированное излучение легче получить в длинноволновой области оптического диапазона, инфракрасной и видимой, и сложнее в УФ-области.

4. Используя соотношения между коэффициентами Эйнштейна, можно выяснить, при какой температуре среды вероятности (количества переходов в единицу времени) спонтанного и индуцированного излучения выравнивают-

ся: А21 = wν В21. На основе (1.4) и (1.5) перепишем условие равенства в дру-

экспонента должна равняться 2. Выбрав для примера переход с длиной волны излучения λ = 1 мкм, получим, что температура среды должна быть по-

рядка 4·104 К, что недостижимо в земных условиях. Следовательно, на основе равновесной, нагретой среды реализовать оптическое усиление и построить лазер не удастся.

5. Запишем выражение для полной вероятности излучения одной частицы: Fизл1 Fсп1 Fинд1 А21 В21w и найдем А21 из второго соотношения:

20