лр 4

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ,

СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

Факультет Институт магистратуры

Кафедра Беспроводных технологий связи

Учебная дисциплина «Математическое моделирование устройств и систем»

Отчёт по лабораторной работе № 4

«ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ»

Принял: преподаватель

________Дмитриева В.В.

«__» ______ 2025г.

Санкт-Петербург

2025 г.

Рис. 1. Проверка модели.

Таблица. 1. Оценки вероятности потерь для различных значений интенсивности нагрузки СМО M/M/1 и M/D/1

N	a	M/M/1			M/D/1
		Время доставки		СКО времени доставки (им. мод.)	Время доставки			СКО времени доставки (им. мод.)
		Имит. модель	Аналит. модель		Имит. модель	Аналит. модель
1	0,1	1.111	1.111	1.111	1.015	1.031	0.056
2	0,2	1.252	1.250	1.250	1.125	1.125	0.125
3	0,3	1.429	1.429	1.431	1.214	1.214	0.214
4	0,4	1.666	1.667	1.668	1.332	1.333	0.333
5	0,5	1.998	2.000	2.000	1.503	1.500	0.500
6	0,6	2.497	2.500	2.503	1.751	1.750	0.750
7	0,7	3.333	3.333	3.331	2.167	2.167	1.167
8	0,8	5.002	5.000	5.003	3.000	3.000	2.000
9	0,9	10.025	10.000	10.028	5.511	5.500	5.500
10	0,99	100.056	100.000	100.021	50.523	50.500	49.998

Рис. 2. График зависимости времени доставки от интенсивности нагрузки для СМО М/М/1 и М/D/1.

Рис. 3. Структура модели двухфазной СМО.

Рис. 4. Гистограмма времени доставки.

Гистограмма времени доставки показывает распределение общего времени, которое заявка проводит в системе - от момента поступления в источник до выхода в сток.

Для двухфазной СМО М/М/1 (когда время обслуживания на обеих фазах имеет экспоненциальное распределение), время доставки подчиняется распределению Эрланга 2-го порядка (или обобщенному распределению Эрланга).

Таблица. 2. Оценки вероятности потерь для различных свойств входящего потока

N	a				Первая фаза											Вторая фаза
			I		II					III			I			II					III
		T1		S1		T1	S1		T1			S1		T2	S2		T2	S2		T2				S2
1	0,2	1.25		1.25		1.13	0.13		1.25			1.25		1.25	1.25		1.13	0.13		1.13				0.13
2	0,5	2,00		2,00		1,50	0,50		2,00			2,00		2,00	2,00		1,50	0,50		1,50			0,50
3	0,8	5,00		5,00		3,00	2,00		5,00			5,00		5,00	5,00		3,00	2,00		3,00			2,00
4	0,9	10,00		10,00		5,50	5,50		10,00			10,00		10,00	10,00		5,50	5,50		5,50			5,50
5	0,99	100,00		100,00		50,50	50,50		100,00			100,00		100,00	100,00		50,50	50,50		50,50			50,50

Выводы:

При малом значении нагрузки (a = 0,2) все исследуемые системы демонстрируют стабильную работу.

При приближении нагрузки к единице (a → 1) время доставки сообщений резко возрастает.

Системы с детерминированным временем обслуживания характеризуются меньшей разбросанностью результатов (низким стандартным отклонением).

Модель Exp/Exp показывает наибольшую вариативность времени доставки.

Наиболее предсказуемой является система D/D, однако её корректная работа требует согласования фаз.

Рис. 5. График сравнения общего времени доставки для всех экспериментов.

Выводы:

1. По построению имитационной модели СМО с ожиданием

В среде AnyLogic успешно создана и корректно настроена имитационная модель системы массового обслуживания с очередью. В ходе разработки модели были выполнены следующие действия:

Определён пользовательский агент «Packet» с параметром origTime для фиксации времени пребывания заявки в системе.

Реализован сбор статистики времени доставки посредством элемента Data.

Настроены параметры основных блоков, включая экспоненциальные распределения межприбытия и времени обслуживания.

Проведена валидация: при нагрузке a=0,8 среднее время доставки составило ≈5 единиц времени, что подтверждает соответствие теории.

2. По результатам имитационного и аналитического анализа СМО M/M/1 и M/D/1

Для M/M/1:

Подтверждён экспоненциальный рост времени доставки при увеличении нагрузки.

При a → 1 время пребывания в системе стремится к бесконечности, что полностью совпадает с теоретическими выкладками.

Имитационные результаты соответствуют аналитической формуле

T = 1/(1–a).

Высокая вариативность времени доставки обусловлена случайным характером обслуживания.

Для M/D/1:

Время доставки значительно меньше по сравнению с M/M/1 при тех же параметрах нагрузки.

Детерминированное обслуживание приводит к заметному уменьшению дисперсии времени ожидания.

Подтверждено аналитическое выражение T = 1 + (a²)/(2(1–a)).

Система демонстрирует более стабильные показатели при больших значениях нагрузки.

Сравнение двух моделей показало, что снижение случайности обслуживания улучшает показатели системы, особенно под высокой нагрузкой.

3. По исследованию многофазной СМО (двухфазного варианта)

Исследование двухфазной системы массового обслуживания позволило установить следующие особенности её работы:

Общее время доставки приблизительно равно сумме времен обработки в каждой из фаз.

При нагрузке a=0,8 получено среднее время доставки около 10 единиц, что согласуется с ожидаемым (5 + 5).

Гистограмма времени доставки демонстрирует распределение Эрланга второго порядка с характерной положительной асимметрией.

Обнаружен накопительный эффект задержек: каждая фаза привносит свою очередь и время обработки.

Эксперименты с различными типами обслуживания показали:

Эксперимент I (M/M/1): наибольшая дисперсия из-за случайности на обеих фазах;

Эксперимент II (M/D/1): дисперсия заметно снижается благодаря детерминированному обслуживанию;

Эксперимент III (равные времена): промежуточное поведение системы.

Практическая значимость: Полученные результаты полезны для проектирования реальных систем, в которых обработка запросов осуществляется поэтапно — например, в телекоммуникационных сетях или многоуровневых серверных архитектурах.