2.​ Далее для получения М-образа трёхкомпонентного γ (отображающего пространственный угол отклонения от оси Oz, характеризующий интенсивность градиента) запишем

3.​ Для получения M-образов двухкомпонентных имеем:

Полученные M-образы несут специфическую информацию для реализации алгоритма градиентного спуска, позволяя прокладывать путь наискорейшего спуска и оценивать изменение скорости движения пропорционально интенсивности градиента.

Порождение M-образов частных производных. Для получения образов, характеризующих разложение интенсивности градиента по осям

, аналогично выражаются образы :

Разница в формулах означает, что в случаях значение палитры P

ставилось в соответствие косинусному промежутку [−1;1], а в случае палитра рассматривается лишь для промежутка [0;1].

45.​Функционально–воксельное интегральное исчисление. Площадь единичного круга, или приближение к числу π.

Задача определения числа π может быть решена функционально-воксельным методом, восходящим к подходу К. Ф. Гаусса. Гаусс применял регулярную

целочисленную решётку для определения количества точек f(r) как узлов единичной решётки, принадлежащих площади круга с целочисленным радиусом r. Эмпирически было установлено предельное соотношение:

В отличие от метода Гаусса, где единичным элементом является квадрат, а уточнение идёт за счёт наращивания радиуса круга, в ФВ-методе постоянной величиной выступает площадь единичного круга, а наращивается количество точек воксельной области дискретизации.

Алгоритм включает два этапа приведения функции к бинарному виду для выделения точек внутри круга:

1.​ Приведение к виду со знаком.

2.​ Обнуление отрицательной области

Площадь единичного круга сводится к последовательному перебору единичных значений , умноженных на площадь элементарной ячейки дискретной сетки :

- целочисленные габариты M-образа. Наблюдения сходимости, построенные аналогично Гауссу, демонстрируют приближение к точному значению π при увеличении разрешения воксельной сетки.

46.​Функционально–воксельное интегральное исчисление. Дифференцирование и интегрирование на функционально–воксельных

моделях.

Функционально-воксельное интегральное исчисление — это способ определения интегральных характеристик (площади, объёма) области, заданной алгебраической функцией, путём операций над её воксельным представлением. Для функции неявного вида, задающей замкнутую область (например, окружность), интеграл по площади вычисляется через её бинарное представление. Функция сначала приводится к бинарному виду q(x,y), принимающему значение 1 внутри области и 0 вне её. Для этого выполняются два этапа:

элементарных ячеек дискретной сетки, для которых

- целочисленные габариты M-образа. Для работы метода необходимо, чтобы область интегрирования была замкнутой и описывалась функцией в бинарном виде (f(Xn)>0 внутри области). Для описания сложных незамкнутых областей применяется аппарат R-функций. Дифференцирование и интегрирование в локальной компьютерной геометрии реализуются на основе операций с локальными геометрическими характеристиками (ЛГХ), хранящимися в функционально-воксельной модели. 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Для ФВ-модели функции, заданной в области, частные производные

вычисляются через отношение ЛГХ. Принцип:

Алгоритм построения ФВ-модели производной:

1.​ Из M-образов исходной функции для каждой точки восстанавливаются значения n1 и n3.

2.​ Вычисляется отношение n1/n3, которое принимается в качестве значения новой функции (частной производной) в данной точке.

3.​ По трём соседним точкам с координатами строится уравнение плоскости через определитель.

4.​ Коэффициенты этого уравнения нормируются, получая новые ЛГХ для производной.

5.​ Эти ЛГХ кодируются в новые M-образы, формирующие V-представление производной ∂z/∂x. Аналогично получается V-представление для ∂z/∂y.

2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Решается обратная задача: по известным производным ∂z/∂x​ и ∂z/∂y и их ФВ-моделям восстановить ФВ-модель первообразной z.

Основное соотношение:

Из тех же формул следует, что:

где a1,a2,a3— коэффициенты уравнения локальной плоскости, a3 — величина, пропорциональная площади проекции окрестности на плоскость xOy. Коэффициент a3 вычисляется через координаты узлов аппроксимационной сетки, которые известны из области задания функции и размеров M-образа:

Алгоритм локального интегрирования:

4.​ Для определения свободного члена a4 задаётся краевое условие (значение z1 в известной точке (x1,y1), например, из исходной функции). Тогда: