денормированные характеристики для частного определяются как

Реализация основных арифметических процедур позволяет говорить о возможности применения воксельных моделей в решении функциональных уравнений и построении сложных вычислительных конструкций.

42.​Применение функционально–воксельных моделей в решении простых уравнений с функциями.

Одной из сложных практических задач является решение алгебраических уравнений с функциями (функционалов с одной неизвестной функцией). Функционально-воксельные (ФВ) модели предоставляют аппарат для такого решения.

Основная идея заключается в том, что функции, участвующие в уравнении, имеют своё V-представление, которое содержит достаточную компьютерную информацию для решения. Более того, такое представление самих функций может использоваться для формулировки новых, более сложных уравнений.

Пример. Рассмотрим уравнение на основе известных функций :

Это уравнение можно представить в виде:

где слагаемыми являются

Ключевое замечание: F-представление для каждой из получаемых в результате функций (например, s) записывается соответствующей арифметической процедурой (например, f+g). Это позволяет на любом этапе работы с

ФВ-моделью структурно восстановить общий вид аналитической записи и провести операцию уточнения текущего решения, если это необходимо.

Для заданного уравнения решение, полученное воксельным подходом, описывается через денормированные характеристики исходных функций:

Функционально-воксельные модели позволяют не только представлять функции в виде, пригодном для алгебраических операций (сложения, умножения и т.д.), но и непосредственно решать уравнения, где неизвестным является функция.

43.​Функционально–воксельное дифференциальное исчисление. Дифференцирование и интегрирование на функционально–воксельных

моделях.

Локальная функция 1 1 + + = 0 в явном выражении одного из аргументов является дифференциальной составляющей первого порядка в любой точке заданной области пространства x Xm.

Доказательство. Рассматривается локальная функция общего вида с выраженным i-тым аргументом:

Это выражение можно представить формулой с дифференциальными компонентами:

поскольку нормаль в точке перпендикулярна касательной, то есть:

Отсюда значение производной для каждой точки области функции в пространстве Em по любой из осей на основе функционально-воксельной

модели выражается отношением как составляющей выражения по определению значения xi.

Практическое применение. V-представление частной производной от функции f получается через отношение соответствующих локальных геометрических характеристик.

Необходимые условия. Для получения нового V-представления частной производной из V-представления её первообразной необходимо рассматривать

значения отношений минимум для трёх соседних вокселей, образующих область новой функциональной поверхности.

Рассматривается общий принцип дифференцирования и интегрирования на примере функции двух аргументов вида:

1.​ Дифференцирование.

Для построенной ФВ-модели исходной функции z частные производные определяются через отношение локальных геометрических характеристик

(ЛГХ):

формулируется уравнение плоскости через определитель. Нормирование его коэффициентов даёт ЛГХ, которые затем кодируются в

новые M-образы, представляющие собой V-представление производной .

Аналогично получается V-представление для .

2.​ Интегрирование (нахождение первообразной). Рассматривается обратная задача. Известно, что:

Коэффициент a3​ является величиной удвоенной площади треугольника в плоскости xOy с вершинами в точках окрестности и вычисляется по известной формуле через координаты узлов аппроксимационной сетки:

Следовательно:

Таким образом, находится неопределённый локальный интеграл в точке

(xi,yj):

Для определения первообразной задаётся краевое условие, например, значение z1 в точке (x1,y1), вычисленное по исходной функции. Тогда свободный член определяется как:

Доопределив коэффициенты локальной функции , можно получить значения zi для остальных узлов сегмента аппроксимационной

сетки:

Применение этого алгоритма локального интегрирования к M-образам первой производной даёт результат, вполне сопоставимый с M-образами исходной функции z.

44.​Воксельное порождение дифференциальных М–образов.

Под образом-моделью функции (M-образом) понимается образ, который цветом отображает некоторую единственную локальную геометрическую характеристику для локальной функции в соответствующей точке образного пространства.

Следует рассматривать две основные группы:

●​ Базовые M-образы несут основную информацию, определяемую аналитическим описанием объекта. Их количество определено

пространством представления однородного вектора для рассматриваемого геометрического объекта.

●​ Порождаемые M-образы являются дополнительными, которые можно получить на основе базовых M-образов по мере возникновения необходимости для решения конкретной задачи.

M-образами ( -номер оси компонента, — размерность пространства представления нормали, которая для отличия от выражения степени записывается римскими цифрами), отображающими локальную геометрию объекта, будут четыре образа -представления.

​

Порождаемые M-образы, отображающие информацию об углах отклонения нормали α,β,γ, получаются на основе базовых M-образов четырёхкомпонентного V-представления.

1.​ Определяются значения компонент для четырёхкомпонентной нормали в точке (i,j) M-образа.