где матрица масштабирования M имеет вид:

Для получения результирующих локальных геометрических характеристик выполняется их перенормировка.

39.​Функционально–воксельная сумма, разность.

Рассмотрим три подхода к решению поставленной задачи с применением функционально-воксельной модели.

Функциональный подход ( ). Пространство суммы двух функций записывается

суммы: . Для получения V-представления суммы строится новая ФВ-модель на основе аналитического представления суммы функций с применением операторов G и M.

Функционально-воксельный подход ( ) позволяет отказаться от расчёта сложной функции, применяя воксельные данные V-представления области локальных функций и соответственно. Посредством оператора N

восстанавливаются локальные геометрические характеристики:

. Затем вычисляется локальная функция суммы в каждой точке:

Определение окрестности точки zf+g позволяет применить операторы G и M для получения искомого V-представления суммы.

Воксельный подход ( ) позволяет производить непосредственно воксельные преобразования, полностью отказываясь от получения значений + . Такой подход использует лишь отношение компонентов или вычисление значения отдельно взятой локальной функции f или g. Для этого каждая локальная функция представляется в денормированном виде, где коэффициент при выражаемом аргументе (например, z) равен 1:

Тогда для суммы аргументов достаточно попарно сложить денормированные характеристики:

Для разности:

Для получения итоговых локальных геометрических характеристик ni найденные величины li снова нормируются:

40.​Возведение в степень. Взятие под корень. Взятие по модулю в локальной геометрии.

Операции возведения в степень, извлечения корня и взятия по модулю в локальной геометрии рассматриваются на основе функционально-воксельного подхода, аналогично операциям сложения и умножения.

Операцию возведения в степень можно рассмотреть на процедуре возведения в квадрат с дальнейшим обобщением. Возведение в квадратную степень функцииможно записать как:

f2 = ×

Исходя из представления функции локальными функциями, возведение в квадрат выражается через денормированные характеристики :

Отсюда новые денормированные характеристики для f2 равны:

Для получения нормированных локальных геометрических характеристик выполняется перенормировка:

Рассматривается обратное действие — извлечение квадратного корня из

полученной ФВ-модели Это действие записывается как В терминах денормированных характеристик:

Отсюда денормированные характеристики для равны:

Далее выполняется их перенормировка:

Предложенный результат извлечения квадратного корня из квадрата функции также может быть отнесён к результату взятия функции по модулю. Таким образом, операция получения модуля реализуется через последовательность

операций возведения в квадрат и извлечения квадратного корня в рамках воксельного подхода.

41.​Функционально–воксельное умножение/деление.

Операция умножения функций может быть выполнена тремя подходами.

Функциональный подход (F): Функция умножения записывается в аналитическом виде. С использованием операторов G и M строится её V-представление.

Функционально-воксельный подход (FV): Позволяет использовать только воксельные данные V-представлений f и g. С помощью оператора N

восстанавливаются локальные геометрические характеристики. Уравнение для оператора X записывается как:

Определение окрестности точки позволяет применить операторы G и M для получения искомого V-представления.

Воксельный подход (V): Приводит к определению нормированных коэффициентов исходя из денормированных представлений. Запись может быть выполнена двумя способами.

Оба случая должны приводить к единому решению, но с разными промежуточными ЛГХ. Усреднённая сумма полученных однородных векторов даёт искомый результат.

После раскрытия скобок и перегруппировки получаются новые денормированные характеристики:

Получение компонентов однородного единичного вектора требует перенормировки:

В общем случае для m-мерного пространства формулы имеют вид:

Операция деления функций может быть выполнена тремя подходами. Функциональный подход (F): Функция деления записывается аналитически как

при g≠0, и для неё строится V-представление с помощью операторов G и M. Функционально-воксельный подход (FV): Используя данные V-представлений и оператор N, получаем решение в виде:

Далее, определяя окрестность, применяются операторы G и M для получения V-представления.

Воксельный подход (V). Исходя из уравнения