через определитель матрицы, составленной из координат узлов минимальной окрестности. Например, для функции z=f(x,y) конечным элементом является треугольник
Оператор M (кодирования в воксель) — преобразует FV-представление в V-представление. Он отображает нормированные ЛГХ ni в целочисленные значения цвета на растровом M-образе:
Оператор N (декодирования из вокселя) — обратный к M оператор. Он восстанавливает значения ЛГХ из V-представления:
Оператор X (вычисления значения функции) — работает с FV-представлением. Он позволяет выразить значение функции по любой выбранной оси пространства через ЛГХ. Например, для оси xi:
Правило описания многомерной окрестности для построения V-представления заключается в следующем: в текущей точке функционального пространства фиксируется ортогональный единичный базис. Начало базиса — это первая точка окрестности. Остальные точки располагаются на концах базисных векторов условно единичной длины. В результате для каждой точки формируется m-мерный выпуклый элемент, что обеспечивает корректное применение оператора G и сохранение геометрической информации при преобразованиях.
35.Точность компьютерного представления функционально–воксельной модели.
Точность представления функционально-воксельной (ФВ) модели определяется двумя основными факторами: разрешением цветовой палитры и соразмерностью шага дискретизации модели с областью определения исходной функции.
Локальные геометрические характеристики (ЛГХ), лежащие в диапазоне [-1; 1], кодируются целочисленными значениями цвета. При использовании монохромной палитры с 256 градациями шаг квантования угла составляет примерно 0.7°. Для повышения точности используется полноцветное RGB-пространство, где общее количество доступных оттенков составляет 256³. Это позволяет значительно увеличить дискретную точность представления ЛГХ.
Точность модели обратно пропорциональна размеру области значений пространства функции при постоянном шаге дискретизации и размере M-образов. Например, при увеличении радиуса окружности r в функции z= r2−x2−y2 с 1 до 100 и использовании палитры в 256 оттенков происходит потеря информации и преобладание одноцветности в M-образах. Даже при использовании палитры в 16 млн оттенков при r=1000 наблюдается видимое снижение информативности образов и нарушение монотонности реконструированного изображения функции.
Для корректного применения ФВ-метода в точных расчётах необходимо соразмерить шаг дискретизации (определяемый разрешением растра I × J) и область определения алгебраической функции.
36.Т–преобразование или пространственный сдвиг функционально-воксельной модели.
В локальной компьютерной геометрии пространственные преобразования выполняются над локальными геометрическими характеристиками (ЛГХ). Утверждение гласит, что вектор с ЛГХ позволяет пространственно преобразовать геометрический объект умножением на транспонированную матрицу преобразования.
Доказательство. Локальная функция в матричном виде представляется как XNT, где X — вектор координат с единицей, NT — транспонированный вектор ЛГХ. При преобразовании матрицей P имеем: (XNT)P=X(NTP)=XN′T. Отсюда
N′T=NTP=NPT.
Процедура T-преобразования (сдвига). Для осуществления параллельного переноса на вектор (Δx,Δy,Δz) в пространстве R3 выполняются действия над V-представлением модели:
1. ЛГХ восстанавливаются из V-представления: 
.
2. Уравнение |
локальной |
функции |
преобразуется: |
n1(x−Δx)+n2(y−Δy)+n3(z−Δz)+n4=0 |
|
|
|
3. После перегруппировки членов |
получается |
новое уравнение, |
|
коэффициенты которого вычисляются умножением исходного вектора ЛГХ на матрицу преобразования T:
[n1′n2′n3′n4′]=[n1n2n3n4]×T,
где |
|
|
|
Результатом |
умножения |
будет |
вектор |
. Затем для получения результирующих ЛГХ выполняется их перенормировка к четырёхмерным компонентам.
При сдвиге изменению подвергается только характеристика n4 отвечающая за положение плоскости относительно начала координат. Однако после перенормировки n4 влияет на все коэффициенты ni, так как включается под корень нормы. Полученная матрица T-преобразования ЛГХ отличается от матрицы преобразования координат тем, что она является транспонированной.
37.R–преобразование или пространственный поворот функционально воксельной модели
Рассмотрим процедуру поворота для локальной функции.
Чтобы осуществить поворот плоскости, описанной уравнением 1 + 2 + 3 + 4 = 0, вокруг начала координат на угол , необходимо заменить координаты
( , , ) на координаты ( ′, ′, ′), где x′ = cosα− sinα, ′ = sinα+ cosα. Тогда получим выражение:
1 ( cosα− sinα) + 2( sinα+ cosα)+ 3 + 4=0.
Перегруппировав члены, имеем:
Приведём выражение к матричному виду. Для этого выделим преобразование коэффициентов уравнения в отдельное действие:
Как и в случае сдвига, преобразование выполняется без использования вектора координат [x y z 1].
При R-преобразовании (повороте) изменению подвергаются лишь две характеристики 1 и 2, отвечающие за отклонение плоскости относительно осей координат и . Однако после перенормирования эти характеристики не влияют на значения остальных коэффициентов, которые остаются неизменными. Это объясняется тем, что при любом повороте сумма квадратов их значений будет постоянна, а значит, не может повлиять на значение всей нормы.
38.M–преобразование или пространственное масштабирование функционально–воксельной модели.
M-преобразование (масштабирование) функционально-воксельной модели вдоль заданных осей выполняется по аналогии с преобразованиями сдвига и поворота, путём выделения и модификации коэффициентов уравнения локальной функции. Для масштабирования пространства функции вдоль осей с коэффициентами mx, my, mz применяется тактика подстановки масштабированных координат в уравнение плоскости.
Исходное уравнение локальной функции 
преобразуется к виду:
После перегруппировки членов получается уравнение с новыми коэффициентами:
Выделяя преобразование коэффициентов в отдельное матричное действие, получаем: