ЛГХ не являются инвариантами при пространственных преобразованиях, но позволяют определять локальные геометрические свойства области функции. ЛГХ используются для построения функционально-воксельной модели (ФВМ), где каждая характеристика кодируется цветом на растровом M-образе.

29.​Локальная геометрическая модель

Вопросы, которые ставит перед собой локальная компьютерная геометрия, предусматривают в первую очередь построение на компьютере локальной геометрической модели. На заданной области алгебраической функции, описывающей геометрический объект, определяются локальные геометрические характеристики, составляющие локальную геометрическую модель.

Под локальной геометрической моделью следует понимать упорядоченное множество локальных функций, описывающих исходную функцию вида ( ) = 0 в каждой точке заданной области.

Некоторые виды локальных геометрических моделей:

●​ Воксельные модели. Тело представляется трёхмерным булевым массивом, каждый элемент которого — пространственный кубик одинакового размера со своими уникальными координатами (воксел). Вокселы равномерно покрывают всю область, в которой содержится моделируемое тело.

●​ Функционально-воксельные модели. Позволяют использовать классические аналитические формулировки физических законов в отдельно взятой точке объекта и моделировать их набором локальных геометрических характеристик для заданного дискретно распределённого пространства. Вычисляемая область функции заменяется областью локальных функций, описывающих линейную зависимость для каждой окрестности точки на области.

●​ Модели, отображающие взаимосвязи между компонентами нормали.

30.​Понятие однородных координат. Полное представление локальной функции.

Однородные координаты — это способ перехода от пространства размерности m к пространству размерности m+1 путём добавления дополнительной координаты, обычно принимающей значение 1 на исходном уровне.

В локальной компьютерной геометрии этот переход позволяет представлять геометрические объекты более низкой размерности (например, точку или прямую) в виде линейных объектов (прямых или плоскостей), проходящих через начало координат в пространстве более высокой размерности.

Так, точка X=a в одномерном пространстве OX представляется в двумерном однородном пространстве xOy как прямая x=ay, проходящая через начало координат. При y=1 получаем исходную точку x=a. Аналогично, прямая aX+bY+c=0 на плоскости XOY представляется в трёхмерном пространстве Oxyz как плоскость ax+by+cz=0, проходящая через начало координат.

Полное представление локальной функции строится именно в таком расширенном однородном пространстве. Локальная функция — это линейная функция, аргументы которой являются локальными геометрическими характеристиками (ЛГХ), то есть компонентами единичного вектора нормали n=(n1,n2,...,nm+1). Например, для двумерного случая локальная функция имеет вид: n1x​ +n2y+n3z+n4=0, где ni — ЛГХ, полученные нормированием коэффициентов уравнения плоскости, аппроксимирующей поверхность z=f(x,y) в окрестности точки.

31.​Свойства локальной функции.

Основным свойством локальной функции является её простая интерпретация1 + 2 + 3 = 0 сложной функции ( , ) = 0 для малой окрестности точки заданной области.

Локальная функция позволяет в любой точке области простым алгебраическим

действием выразить один аргумент через другие (например, ) . Это свойство упрощает решение задач, где требуется подобная параметризация. Хотя сами локальные геометрические характеристики (коэффициенты ni) не являются инвариантами при пространственных преобразованиях, через них определяются инвариантные локальные свойства области функции.

Локальная функция описывает не отдельный геометрический объект, а локальные свойства в точке для всей области существования функции, которая может содержать множество объектов, описанных одним уравнением.

Значение локальной функции в точке (положительное, отрицательное или нулевое) позволяет разделять область на внутреннюю, внешнюю и граничную части фигуры. Это свойство является фундаментальным для применения в R-функциональном моделировании и теоретико-множественных операциях.

32.​Область значений функции. Область значений функции для плоской фигуры.

Функция неявного вида ( ) = 0 может быть определена множеством значений на заданной области . При этом могут существовать области, содержащие подмножество точек с нулевыми значениями такой функции.

Рассмотрим уравнение, описывающее окружность с центром в начале координат и радиусом : 2 + 2 = 2. Перенеся все члены уравнения в левую часть, получим алгебраическую функцию неявного вида 2 + 2 − 2 = 0 или √( 2 + 2) − =0. Эта функция говорит о том, что множество точек ( , ), отстоящих от начала системы координат на расстоянии , при подстановке в функцию неявного вида приводит её к нулевому значению.

Выделенное множество точек ( , ) является «носителем» геометрической информации о границе фигуры «круг».

Для полного описания области значений функции необходимо рассматривать всю непрерывную поверхность в пространстве, которое получается приравниванием левой части функции к новой переменной. Например, для уравнения окружности ² − ² − ² = 0, вводится переменная , и получается поверхность = ² − ² − ². Эта поверхность в пространстве ³ пересекает плоскость (где =0) именно по множеству точек окружности.

Таким образом, область значений функции для плоской фигуры представляет собой непрерывную скалярную поверхность в пространстве повышенной размерности. Локальное представление этой поверхности в каждой точке задаётся касательной плоскостью, уравнение которой (вида + + + = 0) определяется локальными геометрическими характеристиками.

Такое полное представление области позволяет восстановить значение функции в любой точке через её ЛГХ и использовать знак функции (положительный, отрицательный, нулевой) для разделения пространства на внутреннюю, внешнюю и граничную области фигуры, что является ключевым для теоретико-множественных операций и R-функционального моделирования.

33.​Воксельная геометрическая модель на основе локальных геометрических характеристик.

Локальные геометрические характеристики (ЛГХ), являясь угловыми параметрами, выражаются через косинусы углов отклонения однородного

вектора от осей координат. Поскольку функция косинуса определена на отрезке [−1; 1], это позволяет ограничить и стандартизировать область существования ЛГХ, а также эффективно преобразовывать их в дискретную числовую форму.

Ключевым шагом является сопоставление каждой ЛГХ с целочисленным значением цветового тона, например, в диапазоне 0…255, по формуле:

где ni — значение ЛГХ, а Mi — соответствующее значение интенсивности цвета для монохромной палитры. На основе этого сопоставления строится воксельная геометрическая модель, представляющая собой набор растровых изображений — графических M-образов. Каждый такой M-образ является двумерным воксельным полем, отображающим пространственное распределение одной локальной геометрической характеристики на заданной области. Например, для функции z=f(x,y) полная модель состоит из четырёх M-образов (M1,M2,M3,M4), соответствующих компонентам единичного вектора

нормали =(n1,n2,n3,n4).

34.​Функционально–воксельная согласованность модели

В функционально-воксельной модели должна быть согласованность между её функциональным -представлением, -представлением и воксельным-представлением.

Функционально-воксельной согласованностью модели будем считать наличие единого математического аппарата в виде семейства операторов { , , , }, позволяющего синхронизировать процедуру пространственного преобразования модели между его -представлением как :{ ( ) = 0}, -представлением:{ , } и -представлением F :{ ,( , )}.

F-представление — исходная аналитическая запись алгебраической функции f(xn)=0.

FV-представление — локальная функция n1x1+...+nmxm+nm+1=0 в каждой точке пространства.

V-представление — воксельная модель, т.е. графические M-образы, кодирующие значения локальных геометрических характеристик (ЛГХ). Оператор G (аппроксимации) — преобразует F-представление в FV-представление. Он выполняет линейную аппроксимацию функции f(x1,...,xm) на регулярной сетке, вычисляя коэффициенты локальной функции