Особенности:

●​ Одному значению x соответствует только одно значение y, поэтому замкнутые или многозначные кривые, например окружность, явно представить нельзя.

●​ Неявное представление функции (например, f(x, y) = 0) позволяет обойти это ограничение.

Параметрическая функция — функция, задаваемая в виде зависимостей аргументов от параметра. В компьютерной графике и геометрическом моделировании параметрические функции используются для представления кривых, поверхностей или объектов в пространстве с помощью одной или нескольких переменных, называемых параметрами.

Особенности:

●​ Параметризация позволяет описывать траекторию объекта на кривой или поверхности, изменяя значение параметра.

●​ Например, параметрические уравнения, описывающие движение точки по окружности: x(t) = R · cos(t), y(t) = R · sin(t), где R — радиус окружности,

а t — параметр времени. При различных значениях параметра точка будет двигаться по окружности.

15.​Аппроксимация окружности. Параметрическое представление функции

Аппроксимация окружности — это приближение точек, образующих замкнутую кривую, окружностью. Это может быть необходимо в различных прикладных задачах, например:

●​ в цифровой обработке изображений для диагностики зрения, распознавания геометрических примитивов;

●​ в системах технического зрения для измерения диаметров цилиндрических объектов.

Для аппроксимации окружности используют разные методы, например, метод наименьших квадратов (МНК) или кубические кривые Безье.

Параметрическое представление функции — это выражение функциональной зависимости между несколькими переменными через дополнительную величину (параметр). Например, координаты точек кривой (например, окружности) вычисляют как функции параметра, который может быть обозначен как t.

Предположим, что функциональная зависимость y от x задана не непосредственно как y=f(x), а через промежуточную величину t.

Тогда формулы:

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции и имеют производные и для существует обратная функция , явное представление функции выражается через параметрическое как:

и производная функции y(x) может быть вычислена как:

Преимущества параметрического представления:

●​ Позволяет описывать траекторию объекта на кривой, изменяя значение параметра.

●​ Обеспечивает более лёгкий способ построения графиков, чем явное представление функции.

●​ Позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры затруднительно или невозможно через элементарные функции.

16.​Аппроксимация. Параметрическое представление функции эллипса.

Аппроксимация – замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение такой функции F(x) (аппроксимирующей функции), которая была бы близка к заданной. Критерии близости функций f(x) и F(x) могут быть различные.

Втом случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.

Втом случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Параметрическое представление функции эллипса — это задание канонического уравнения эллипса в виде параметрических уравнений. Стандартное параметрическое представление стандартного эллипса с уравнением x²/a² + y²/b² = 1:

x = a cos t;

y = b sin t, где t – параметр.

Параметр t является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки. Чтобы получить эллипс с центром не в начале координат и с главной осью, расположенной под углом к горизонтали, его поворачивают вокруг начала координат, а затем переносят.

17.​Интерполяция. Кривые Безье.

Задача приближения функций возникает при обработке и отображении экспериментальных данных и в ходе моделирования и отображения геометрии сложных криволинейных объектов.

Простейшая, одномерная задача интерполяции, приводящая к приближению функций, заключается в следующем: в дискретные моменты x1, 2,…, наблюдаются значения функции = ( ); требуется восстановить её значение при других x, т.е. определить такую функцию , чтобы ( ) ≈ ( ; 1, 2,…, ), где 1, 2,…, определяются из условия совпадения функции ( ) в точках ,

( ) = ( ), = 1,2,…, .

Определение. Кривая Безье — параметрическая кривая, задаваемая выражением

где — функция компонент векторов опорных вершин, а , ( )— базисные функции кривой Безье, называемые также полиномами Бернштейна.

где ( ) = !/( !( − )!) — число сочетаний из по , где

— степень полинома, — порядковый номер опорной вершины. Виды Степень кривой Безье равна числу точек минус один. Например:

●​ для двух точек — линейная кривая (прямая); ●​ для трёх точек — квадратическая кривая (парабола); ●​ для четырёх точек — кубическая.

Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут быть последовательно соединены друг с другом в сплайн Безье. Чтобы обеспечить гладкость линии в месте соединения двух кривых, три смежные опорные точки обеих кривых должны лежать на одной прямой.

18.​Интерполяция. Интерполяция полиномами.

Задача приближения функций возникает при обработке и отображении экспериментальных данных и в ходе моделирования и отображения геометрии сложных криволинейных объектов.

Простейшая, одномерная задача интерполяции, приводящая к приближению функций, заключается в следующем: в дискретные моменты x1, 2,…, наблюдаются значения функции = ( ); требуется восстановить её значение при других x, т.е. определить такую функцию , чтобы ( ) ≈ ( ; 1, 2,…, ), где 1, 2,…, определяются из условия совпадения функции ( ) в точках ,

( ) = ( ), = 1,2,…, .

Линейная интерполяция полиномами в основе применяет линейный вид многочлена ( ) = 1 + 2 . Чтобы прямая, описанная таким уравнением прошла через точки ( 1, 1) и ( 2, 2) достаточно выразить коэффициенты 1 и 2 через соответствующие уравнения системы: { ( 1 + 2 1 = 1) и ( 1 + 2 2 = 2 ).

Рисунок отображает квадратичный полином вида ( ) = 1 + 2 + 3 2 (7.2.1), при этом, коэффициенты определяются исходя из условия

где ( 1, 1),( 2, 2),( 3, 3)- узловые точки, определяющие параболу участка кривой.