●​ Единообразное описание сложных геометрических объектов.

●​ Возможность автоматического выделения и анализа произвольных сегментов поверхности.

●​ Наглядную визуализацию результатов в виде V-представлений и цветового выделения.

64.​Конструкция минимизации в решении САУ в локальной геометрии.

Система алгебраических уравнений приводится к задаче минимизации одной функции. Для системы:

строится функция ω.

Каждое уравнение f i(X)=0 рассматривается как сечение поверхности ωi =fi(X) на уровне ωi=0. Для автоматического определения точек, удовлетворяющих уравнению, используется переход к модулю:ω i= fi(X) .

Функция ωi= fi(X) имеет излом минимальных значений на множестве

точек, где fi(X)=0. Вне этого множества значения возрастают. Сумма модулей всех уравнений системы:

образует поверхность, единственная точка нулевого минимума которой (если система имеет единственное решение) соответствует пересечению всех исходных поверхностей fi(X)=0.

Метод решения с помощью ФВМ ●​ Функция ω представляется в виде функционально-воксельной модели

(ФВМ).

●​ Для нахождения минимума ω→0 применяется градиентный спуск по M-образам.

●​ Точки, в которых ω принимает нулевые (или близкие к нулю) значения, являются решениями системы.

65.​Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в локальной геометрии.

Один из графических методов решения обыкновенного дифференциального уравнения ′ = ( , ) основан на построении изоклин, определяемых как линия фиксированной величины производной. При этом, автоматизация такого подхода требует генерации тангенциальной поверхности в пространстве и построения на ней изолиний, посечённых однонаправленными отрезками (касательными к интегральной кривой).

В функционально-воксельном методе (ФВМ) этот подход автоматизируется с использованием M-образов.

Производная y′ интерпретируется как отношение косинусов углов отклонения единичного градиентного вектора от осей Ox и Oy:

где α и β — углы отклонения вектора нормали от осей Ox и Oy.

Косинусные величины cosα и cosβ нормированы на промежутке [−1;1], что позволяет представить их в виде цветовой палитры [0 … 255] и хранить в виде растровых образов:

Эти образы называются M-образами и содержат полную информацию о тангенциальном поле.

Алгоритм построения интегральной кривой по двум M-образам

1.​ Задаётся область определения x [X min,X max],y [Y min,Y max] и

разрешение M-образов X bmp×Y bmp.

2.​ Вычисляются коэффициенты масштабирования:

3.​ Начальная точка (например, начало координат) пересчитывается в координаты M-образа:

4.​ Для текущей точки определяются цвета Color1 и Color2 на M-образах, по которым восстанавливаются косинусы:

5.​ Вычисляется третья компонента градиента в окрестности точки:

6.​ Определяется следующая точка интегральной кривой:

7.​ Процесс повторяется до достижения границы области. Решение уравнений второго порядка.

Уравнение второго порядка приводится к системе первого порядка подстановкой . Получается уравнение:

Затем применяется ФВ-метод, аналогичный случаю первого порядка, с учётом возможных разрывов при v=0.

66.​Функционально–воксельное моделирование задачи Коши.

Рассматривается однородное дифференциальное уравнение в частных производных вида

с начальным условием

Аналитическое решение имеет вид

ФВМ представляет искомую функцию z(x,y) в виде области локальных функций

где (n1,n2,n3,n4) — локальные геометрические характеристики. На компьютере эти характеристики отображаются в виде M-образов (M1,M2,M3,M4). Начальное условие z(0,y)=3y+2 задаёт сечение искомой поверхности при x=0. Это позволяет определить частную производную dz/dy на этом сечении:

где h — шаг аппроксимации.

Если локальная функция представлена как a1x+a2y+a3z+a4=0, то частные производные выражаются через её коэффициенты:

Коэффициент a3 вычисляется через координаты трёх точек аппроксимационного треугольника:

Вычисление коэффициентов локальной функции

Используя значения частных производных в точке (x1,y1,z1), коэффициенты определяются по формулам:

Значение z1 на первом шаге вычисляется по начальному условию, на последующих — через коэффициенты локальной функции.

Для каждого узла аппроксимационной триангулированной сетки вычисляются локальные геометрические характеристики методом ФВМ. Область решения заполняется локальными функциями

На компьютере эта область представляется соответствующими M-образами. Полученные M-образы сравниваются с эталонными образами, построенными по аналитическому решению. Визуальное совпадение и численная оценка узловых значений подтверждают корректность работы алгоритма.

Для угловых точек заданной области x [0,1],y [0,1] вычисляются значения функции и её частных производных. Сравнение с аналитическими значениями показывает приемлемую точность метода.