●​ Решение визуализируется в виде многогранника допустимых решений с отмеченной экстремальной точкой.

61.​Решение нелинейных МП–задач методом ФВМ.

Рассматривается задача нахождения глобальных экстремумов нелинейной целевой функции при линейных или нелинейных ограничениях. Пример:

при системе линейных ограничений:

Область допустимых планов формируется как пересечение R-функций ограничений:

Чтобы использовать область ω для оптимизации, положительные значения внутри неё обнуляются:ω0=ω− ω .

Это обеспечивает сохранение нулевой границы и отрицательных значений вне области.

Целевая функция F добавляется к ω0 с учётом возможного влияния её формы на изломы границы:

Fω= F+ω0(1+ F ).

На границе области из-за изломов направление градиента может меняться, но учёт множителя (1+ F ) обеспечивает корректное определение экстремальных точек.

Графическое представление и решение

●​ Строится V-представление поверхности Fω.

●​ Запускается градиентный спуск по M-образам Fω.

●​ Находятся точки глобального минимума и максимума.

Пример с нелинейными ограничениями Задача: минимизировать/максимизировать при ограничениях:

Область задаётся пересечением предикатов:

Решение методом ФВМ ●​ Строится ω0=ω− ω .

●​ Формируется Fω =z+ω0(1+ z ).

●​ Градиентный спуск по M-образам находит точки минимума и максимума. Визуализация результатов в системе РАНОК:

●​ Строятся V-представления ω, ω0, Fω.

●​ Отображаются M-образы для минимизации и максимизации.

●​ Экстремальные точки выделяются на поверхности, сохраняя значения целевой функции внутри области.

62.​Длина дуги. Нахождение площади сегмента поверхности сложной формы.

Рассмотрим пример определения длины дуги средствами ФВМ. Для выделения границы замкнутой площади используется увеличение искомой площади на величину Δ=Sx (или Sy, если Sy>Sx). Вводится функция:

тогда интеграл, выраженный через функцию ( ), определяющий длину её нулевой границы, приобретает следующий вид:

где:

●​ Первое выражение формирует бинарную область, где нули соответствуют отрицательным значениям f(xi,yj)+Δ, а единицы — положительным.

●​ Второе выражение формирует бинарную область, где нули соответствуют положительным значениям f(xi,yj), а единицы — отрицательным.

●​ Произведение этих выражений выделяет единичные значения только на границе f(x)→0.

Для функции f(x1,…,xn) длина (n−1)-мерной границы вычисляется по формуле:

Для вычисления площади сегмента поверхности используется подход, основанный на «сборе» экстремальных точек на заданном сегменте и подсчёте их количества с учётом размера воксельной площадки × × .

Для выделения ограниченной площадки на поверхности сложной формы используется принцип локализации. Заданный сегмент поверхности выделяется с помощью дополнительного ограничивающего условия, а экстремальные точки на нём определяются с помощью максимизации соответствующей функции.

Применение аппарата R-функций

Область ограничений формируется как пересечение функций ωi, описывающих геометрические объекты. Например, для цилиндра, усечённого поверхностью:

Если требуется найти площадь сегмента, заданного функцией ω2, целевая функция формулируется как:

−ω2→max

Максимизация этой функции при ограничении ω позволяет «собрать» экстремальные точки на поверхности ω2. Их количество, умноженное на площадь воксельной площадки Sx×Sy, даёт приближённое значение площади сегмента.

63.​Локализация площадок на сложных поверхностях.

При определении площади поверхности сложной формы возникает задача выделения ограниченной площадки на заданном сегменте поверхности. Для этого применяется метод локализации, позволяющий сконцентрировать экстремальные точки на интересующем участке.

Рассматривается деталь клапана, описанная набором функций ωi, формирующих её тело:

где ωi — функции сегментов поверхностей.

Для локализации площадки на конкретном сегменте (например, шестигранной поверхности, заданной функцией ω9) используется метод выделения нулевых значений на отрицательном пространстве.

Локализация прямой (отрезка) с нулевым значением в отрицательной области вдоль выбранной оси (например, Ox) описывается выражением:

где [a,b] — область ограничения отрезка вдоль оси Ox. Геометрическая интерпретация

●​ Пересечение отрицания полупространства ω=ax+by+c с самим собой с противоположным знаком формирует прямую с нулевыми значениями в отрицательной области.

●​ Ограничение отрезка по оси Ox выделяет конечный участок этой прямой. Для локализации площадки на поверхности ω 9 используется выражение:

Результат локализации ●​ На воксельной визуализации детали выделяется цветом локализованная

площадка (например, шестигранная поверхность).

●​ Экстремальные точки, соответствующие максимуму функции локализации, заполняют площадь выбранного сегмента.

Локализация площадок реализуется в рамках функционально-воксельного моделирования с использованием аппарата R-функций, что обеспечивает: