Тогда общая функция линейной гомотопии:

Использование многочлена Бернштейна в сочетании с R-функциональным моделированием позволяет решать задачи объёмной интерполяции и строить наборы промежуточных поверхностей для функционально описанных объектов сложной формы.

58.​Алгоритм локальной оптимизации. Градиентный спуск.

Воптимизационных задачах используется конструкция F(xi)→min/max. Задача заключается в определении экстремальных точек целевой функции в заданной области. Основным инструментом анализа дифференциальных характеристик поверхности является градиентный метод.

Воснове алгоритма лежит анализ градации оттенка цвета в точках M-образов, которые представляют проекции компонентов нормали. Для функции двух аргументов ω=f(x,y) используются два M-образа:

Цвет пикселя кодирует значение косинуса: белый — cos=1, чёрный — cos=−1. Направление градиента определяется по двум M-образам:

Результирующее направление является пересечением двух предварительных

решений. Например, если указывает вправо, а — вниз, итоговое направление — в правый нижний угол.

Для определения направления градиентного спуска при R2 выбирается два

M-образа и , и определяется их пересечение.

В общем случае пересечение рассчитывается по формуле:

Обобщение на многомерное пространство ●​ В R2 используется 2 M-образа,

●​ В R3 — 6 M-образов (по два на каждую ортогональную плоскость), ●​ В Rm количество M-образов вычисляется по формуле:

где m — размерность пространства.

Количество M-образов для реализации алгоритма движения по градиенту соответствует размерности пространства аргументов функции при условии, что компоненты M-образа имеют такую же размерность нормирования.

Для пространства R3 можно использовать три M-образа , которые отображают нормированные компоненты нормали (nx, ny, nz). Направление движения по градиенту Mx,My,Mz вдоль каждой из координатных осей определяется путём анализа значений в этих трёх образах и нахождения пересечения трёх ортогональных плоскостей

59.​Решение задач математического программирования в локальной компьютерной геометрии.

Математическое программирование рассматривает методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах конечномерного векторного пространства, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). Задача сводится к нахождению экстремумов функции F на множестве, заданном линейными и нелинейными ограничениями в конечномерном пространстве. Область допустимых решений описывается как пересечение функций ограничений:

На границе области ω=0, внутри — положительные значения, снаружи — отрицательные.

Чтобы использовать область ω для минимизации/максимизации целевой функции F, необходимо обнулить положительные значения внутри области. Для этого применяется преобразование:

В результате положительная область обнуляется, а отрицательная становится более выраженной.

Встраивание целевой функции в область ограничений

Целевая функция F добавляется к ω0 с учётом возможного влияния её формы на изломы границы. Окончательная функция для оптимизации имеет вид:

Решение с использованием ФВМ и градиентного метода

●​ Функция Fω представляется в виде функционально-воксельной модели

(ФВМ).

●​ Для нахождения экстремумов применяется алгоритм градиентного спуска, работающий непосредственно с M-образами ФВМ.

●​ На границе области из-за изломов направление градиента может меняться, но учёт множителя (1+ F ) обеспечивает корректное определение экстремальных точек.

Пример решения линейной задачи Рассматривается задача:

при заданных линейных ограничениях q1,…,q9. В системе РАНОК: ●​ Ограничения и целевая функция описываются на языке FORTU. ●​ Строятся M-образы модели.

●​ Запускается градиентный метод, который определяет точки остановки градиентного движения.

●​ Выбирается точка с максимальным значением Z. Пример решения нелинейной задачи

Для функции при линейных ограничениях: ●​ Область ограничений ω формируется как пересечение ω1,…,ω 4.

●​ Строится ω0 =ω− ω .

●​ Формируется F ω=F+ω 0(1+ F ).

●​ Градиентный спуск по M-образам Fω находит точки минимума и максимума внутри области.

60.​Автоматизация решения МП–задач методом ФВМ.

Метод функционально-воксельного моделирования (ФВМ) позволяет автоматизировать решение задач математического программирования без применения численных или аналитических вычислений. В основе метода лежит математический аппарат R-функций и градиентный алгоритм, использующий воксельные M-образы модели.

Подготовка модели в системе РАНОК

Задача описывается на специализированном языке FORTU в отдельных окнах системы. Например, для трёхмерной задачи линейного программирования:

при ограничениях.

После описания задачи система строит M-образы — графические представления локальных геометрических характеристик функции на заданной области. Этот этап называется «обучением компьютера»: полученные M-образы служат основой для всех последующих вычислений.

Градиентный метод в системе РАНОК может быть запущен в двух режимах: ●​ Одиночная траектория градиента, ●​ Множество траекторий из каждой точки воксельной модели.

В результате градиентного движения формируется массив точек остановки. Из этого массива выбирается точка с максимальным (или минимальным) значением целевой функции Z. Результаты выводятся в табличном виде, сортированные по возрастанию Z.

Уточнение решения и визуализация ●​ Для повышения точности используется рекурсивный алгоритм уточнения

пространства модели.

●​ Глубина рекурсии влияет на время расчёта: каждый следующий уровень увеличивает время примерно в 8 раз.