FUNCTION W=R^2-(x)^2-(y)^2
FUNCTION W1=E^2-(x)^2-(y)^2
FUNCTION W2=W & (-W1)
RETURN W2)
54.Описание области алгебраической функции для кривой Безье.
Для параметрической кривой Безье, построенной на полиномах Бернштейна, можно построить алгебраическую функцию вида z=f(x,y), область нулевых значений которой (z=0) будет соответствовать самой кривой.
1. Квадратичная кривая Безье.
Для квадратичной кривой, заданной тремя опорными точками 
, параметрическое уравнение имеет вид:
Для получения алгебраической функции z=f(x,y) необходимо исключить параметр t. Из уравнения для координаты x:
выражается t через x. Затем найденное t подставляется в уравнение для y, что даёт явный, но громоздкий вид y=f(x).
2. Построение области функции.
Чтобы построить область алгебраической функции z=f(x,y), где нулевое значение соответствует кривой, записывается выражение
где параметр t выражается через x. При этом условии множество точек, для которых f(x,y)=0, принадлежит кривой Безье.
55.Применение рекурсивного алгоритма Поля де Кастельжо для построения алгебраической функции кривой Безье
Рекурсивный алгоритм Поля де Кастельжо позволяет строить кривую Безье любого порядка на основе линейной интерполяции между точками, что даёт возможность избежать сложного аналитического исключения параметра t и построить область алгебраической функции более эффективно.
Основная идея алгоритма на примере квадратичной кривой.
Для трёх опорных точек P0,P1,P2 алгоритм сводится к двум шагам линейной интерполяции.
1. Строятся вспомогательные точки, линейно зависящие от параметра t:
2. Искомая точка кривой Безье получается линейной интерполяцией между
:
Геометрически прямая Q0Q1 является касательной к кривой Безье в точке B(t). Утверждение. Всегда можно определить такой поворот системы координат, чтобы для рассматриваемых трёх точек 0, 1, 2 выполнялось условие − 0 =
2 − 1.
Доказательство. В пространстве рассмотрим треугольник, образуемый тремя точками 0, 1, 2. Разделив отрезок [ 0 2] пополам, получим точку , доопределяющую прямую 1, направление которой должно совпасть с направлением оси ′. В таком случае прямая 1 делит также отрезок координатной оси [ ′0 ′2] пополам, выполняя условие ′ − ′0 = ′2 − ′1.
Алгоритм для общего случая (3 точки):
1. Определение координат для точки на отрезке [ 0 2].
2. Определение параметров поворота системы координат для выполнения условия − 0 = 2 − 1
3. Пересчитать координаты в новую систему.
4. Поворот системы координат на угол α со сдвигом в точку A. 5. Построение сегмента кривой Безье.
Алгоритм рекурсивно применяется для большего числа точек. Для четырёх точек (кубическая кривая) сначала строятся три промежуточные точки
Q0,Q1,Q2 для пар (P0,P1),(P1,P2),(P2,P3), затем две точки R0,R1 для пар
(Q0,Q1),(Q1,Q2), и, наконец, уравнение прямой через R0 и R1 даёт алгебраическую функцию для кубической кривой.
56.Алгоритм билинейной интерполяции компонентов вектора нормали в узловых точках триангулированной сетки (алгоритм Фонга).
Алгоритм билинейной интерполяции (алгоритм Фонга) применяется в локальной геометрии для сглаженного распределения четырёхкомпонентных векторов нормали по поверхности, заданной триангулированной сеткой, с целью построения функционально-воксельной модели.
В классической компьютерной графике алгоритм Фонга используется для расчёта освещённости и оперирует трёхкомпонентной нормалью и расстоянием до наблюдателя. В локальной геометрии для полноты представления области локальных функций вводится четвёртый компонент вектора нормали.
Этапы алгоритма.
Этап 1. Определение локальной нормали для каждого треугольного элемента. Для j-го треугольного элемента с вершинами Aj,Bj,Cj четырёхкомпонентная нормаль к плоскости вычисляется через определитель матрицы 4×4:
Коэффициенты ai нормируются для получения компонентов локальной функции:
Этап 2. Четыре компоненты усреднённой нормали в рассматриваемом j-том узле сетки определяются суммой соответствующих компонентов нормалей плоскости треугольников, содержащих этот узел.
1. Линейная интерполяция компонентов нормали между узловыми точками отрезков [ ] и [ ]:
Здесь 
— усреднённые нормали в вершинах.
2. Вторая линейная интерполяция компонентов нормали между промежуточными точками отрезка [ ]
Последовательность двух линейных интерполяций и дала название билинейная.
57.Объёмная интерполяция. Применение гомотопии на основе линейного многочлена С.Н. Бернштейна.
Под объёмной интерполяцией понимается промежуточное построение форм геометрического объекта по заданным опорным формам геометрических объектов, отличных друг от друга. Гомотопия — это геометрическое преобразование объекта по изменяемому параметру с набором промежуточных состояний, применяемое для непрерывного перехода от начальной формы к конечной.
Для решения задачи гомотопии используется линейный многочлен Бернштейна, который позволяет плавно интерполировать между функциональными описаниями двух геометрических объектов. Пусть ω1 — функция начального состояния (например, куба), а ω2 — функция конечного состояния (например, сферы). Тогда функция, описывающая объект в любой момент перехода при параметре t [0,1], имеет вид:
Квадратичная гомотопия.
Для влияния на форму промежуточных состояний вводится квадратичный многочлен Бернштейна с использованием трёх опорных функций.
Пример технологического применения: гомотопия от цилиндра к «пешке». Рассматривается переход от исходной заготовки в форме цилиндра к сложной форме поверхности «пешка» (функция ω6). Цилиндр, ограниченный по высоте, описывается пересечением двух функций