неоспоримые преимущества при пересечении фигур сложного алгебраического описания.
Воксельный подход (V).
Этот подход работает непосредственно с денормированными локальными характеристиками, полученными из V-представлений. Пусть для двух функций в точке заданы их денормированные локальные функции
Формула для вычисления ЛГХ по R-функциональному закону (для операции типа 0) выводится на основе правил арифметических операций над характеристиками (сложение, умножение, взятие корня) и имеет вид:
Знак «минус» соответствует операции пересечения, «плюс» — объединению.
Полученные денормированные характеристики |
затем нормируются для |
получения итоговых локальных геометрических характеристик 
.
51.Булевы функции и их геометрическая интерпретация.
1. Основные теоретико-множественные операции.
Пусть U - универсальное множество, — пустое множество, A и B — его подмножества. Определяются операции:
Пересечение: A∩B состоит из элементов, принадлежащих A и B одновременно.
Объединение: A B состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B.
Дополнение: 
состоит из элементов, не принадлежащих A.
2. Алгебраические свойства операций. Операции обладают следующими свойствами, определяющими булеву алгебру:
5. Закон двойного отрицания 
3.Другие бинарные операции. В бинарном исчислении B2={0,1}символы ∩, ,ˉ заменяются на , ,¬. Определяются и другие операции
4.Геометрическая интерпретация через знак функции.
Геометрическая интерпретация возникает при сопоставлении знака алгебраической функции, заданной на области, булевым значениям: положительный знак (+) соответствует 1 (истина, принадлежность области), отрицательный (-) соответствует 0 (ложь, непринадлежность). R-функциональное моделирование позволяет построить алгебраические функции, которые точно воспроизводят таблицы истинности булевых операций
над областями. |
|
|
|
|
5. Ключевая функция для операций пересечения и объединения. |
|
|||
Наибольший |
практический |
интерес |
представляет |
функция |
, поскольку её знак соответствует булевой операции пересечения (конъюнкции). Если перед корнем сменить знак на противоположный, получится аналог операции объединения. Это доказывается геометрически на основе правила прямоугольного треугольника: сумма двух его
сторон всегда больше третьей, то есть 
при положительных x и y и наоборот для отрицательных
52.Формальное определение R–функций.
R-функции (функции Рвачёва) формально определяются следующим ключевым свойством.
Основное свойство:
Функция u(x1,x2,...,xn) является R-функцией, если знак её значения однозначно определяется знаками её аргументов и не зависит от их конкретных числовых величин.
Для иллюстрации приводятся примеры функций u и v, где функции u обладают указанным свойством, а функции v — нет.
Функция u2(и её вариант со знаком «+» перед корнем) является наиболее важной, так как обеспечивает аналитическую реализацию базовых теоретико-множественных операций над областями: пересечения и объединения. Это свойство следует из геометрии прямоугольного треугольника
.
53.Примеры R–функционального моделирования. Разобрать свой пример.
Пусть Σ = ( = 1, ) — алгебраические функции геометрического объекта,( 1,…, ) — некоторая булева функция. Тогда уравнение Ω ≡ (Σ1,…,Σ ) ≥ 0 называется предикатным уравнением и определяет некоторый геометрический объект, называемый сложным.
1. Пример построения сложной плоской фигуры.
Рассматривается фигура, ограниченная сплошной линией. Её граница составлена из участков трёх простых объектов
Однако не существует булевой функции Ω = F(Σ1,Σ2,Σ3), которая дала бы требуемую фигуру. Необходим четвёртый объект, отсекающий верхний правый угол квадрата, образованного пересечением полос. Это можно сделать двумя способами:
Вариант А: Отсечение полуплоскостью, проходящей через точки (a,0) и (0,a). Её уравнение находится через определитель:
Вариант Б: Отсечение областью вне окружности радиуса a с центром в (a,a):
Итоговое предикатное уравнение для фигуры имеет вид:
Вариант с полуплоскостью (A) даёт грань, вариант с окружностью (Б) — скруглённый угол.
2. Пример пространственного моделирования («пешка»).
Для построения трёхмерной поверхности, напоминающей шахматную фигуру «пешка», подбираются следующие опорные геометрические объекты:
Логическая формула (предикат), описывающая пешку, формируется как:
Пример:
1. Σ1 = 25-x2-y2 ≥ 0 (окружность с радиусом 5) 2. Σ2 = 4-x2-y2 ≥ 0 (окружность с радиусом 2) 3. Логическая формула Ω = (Σ1 (−Σ2))
Благодаря использованию булевых операций “отклонение” и “пересечение” получается круг с отверстием круглой формы.
(Не часть билета: RECTANGLE(-6,-6,6,6) RECTBMP(200,200) ARGUMENT x,y CONSTANT R=5 CONSTANT E = 2