6.​ По этой функции вычисляются значения z в других узлах сетки, после чего строится полная ФВ-модель первообразной.

47.​Функционально–воксельное интегральное исчисление. Определение значения интеграла функционально–воксельным методом.

Определение значения интеграла (площади, объёма) функционально - воксельным методом сводится к дискретному суммированию по воксельной сетке с использованием бинарного представления интегрируемой функции.

Для функции f(x,y), задающей замкнутую область (f>0 внутри области), площадь вычисляется по формуле:

где:

●​ f(xi,yj)≠0

●​ m×n — размер двумерной воксельной области,

●​ — шаги дискретизации ●​ I×J — целочисленные размеры M-образа.

Для функции n переменных f(X n), задающей замкнутую область в n-мерном пространстве, значение n-кратного интеграла (мера области) определяется

как

Для работы метода необходимо, чтобы интегрируемая область была замкнутой и описывалась функцией в бинарном виде (f(Xn)>0 внутри области). Если исходная область незамкнута (например, сегмент параболы), её нужно доопределить до замкнутой с помощью операций R-функционального моделирования.

Пример: вычисление площади сегмента параболы.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y=x2−1 и осью Ox (область отрицательных y), строится замкнутая область путём пересечения двух функций.

Их пересечение описывается R-функцией:

Задаются границы области Xmin,Xmax,Ymin,Ymax и размеры M-образа I×J с сохранением пропорций сторон области. Затем применяется общая формула суммирования. Проверка корректности: сумма площадей положительной Sω+ и отрицательной Sω− областей функции ω должна стремиться к площади всей заданной прямоугольной области определения.

48.​Аналитическая геометрия. Прямая и обратная задача.

Аналитическая геометрия возникла на стыке геометрии и математического анализа, оказав существенное влияние на развитие различных наук, связанных с обработкой геометрической и аналитической информации. Основным объектом изучения является парное отношение:

{ ( )} → { },

где ( ) — алгебраическая функция;

X=( 1,…, ) — точка в n-мерном евклидовом пространстве;

G — геометрический объект, определяемый местом точек при условии ( ) = 0. Прямая задача заключается в однозначном определении геометрического объекта G по заданной алгебраической функции f(X)=0, где X=(x1,...,xn)— точка в n-мерном пространстве. Геометрический объект понимается как множество точек, удовлетворяющих этому уравнению. Примеры:

●​ определяет прямую, отсекающую на осях отрезки a и b.

●​ определяет окружность радиуса R с центром в начале координат.

Обратная задача — нахождение алгебраической функции f(X)=0 по заданному геометрическому объекту — не имеет единственного решения. Один и тот же геометрический объект может быть описан бесконечным множеством различных функций. Например, ту же прямую, отсекающую отрезки a и b,

можно описать не только уравнением , но и

или .

В работах академика В. Л. Рвачёва под геометрическим объектом предлагается понимать нечто в евклидовом пространстве, имеющее форму. При этом уравнение неявного вида f(x,y)=0 определяет не просто контур, а в общем случае некоторое множество точек (включая, возможно, изолированные точки или области), где функция обращается в ноль. Это иллюстрируется примером сложной функции, нулевое значение которой достигается на окружности, на биссектрисах и в одной изолированной точке.

49.​Моделирование геометрических объектов алгебраическими функциями. R–функциональное моделирование.

Для аналитического описания сложных геометрических объектов, особенно при необходимости сохранения условия знака функции (ноль на границе, положительные значения внутри области, отрицательные снаружи), применяется специальный класс функций — R-функции (функции Рвачёва). Этот класс был введён академиками В. Л. Рвачёвым и Е. Л. Ющенко. Принципы R-функционального моделирования (RFM) легли в основу идеологии функционально-воксельного моделирования на уровне алгебраического описания.

Наиболее распространённой полной системой, применяемой в геометрическом моделировании, является система Rα, где −1<α≤1. Она включает операции пересечения, объединения и отрицания:

Пересечение (конъюнкция):

Объединение (дизъюнкция):

Отрицание (инверсия):

При α=0 получается квадратичный закон описания, обеспечивающий гладкость образуемой поверхности:

При α=1 получается линейный закон:

Значение параметра α влияет на форму поверхности функции в заданной области.

R-функции обладают тем свойством, что знак результата операции однозначно определяется знаками аргументов и не зависит от их конкретных значений. Это позволяет сопоставлять логическим (булевым) операциям над областями соответствующие алгебраические функции.

50.​R–функциональное моделирование локальной геометрии.

R-функциональное моделирование (RFM) может быть применено в контексте локальной геометрии через функционально-воксельный (FV) и воксельный (V) подходы, что позволяет избежать прямых вычислений со сложными аналитическими выражениями.

Функционально-воксельный подход (FV).

Этот подход использует готовые V-представления (M-образы) исходных функций. Например, для построения пересечения двух функций X 0Y по квадратичному закону:

1.​ Используются V-представления функций X(x) и Y(y)

2.​ С помощью оператора N восстанавливаются локальные геометрические

характеристики из их M-образов.

3.​ Формируется выражение для результирующей функции Z через локальные функции X и Y:

4.​ Определение окрестности точки Z позволяет применить операторы G и M для получения итогового V-представления пересечения

Вычислительная сложность не меняется при усложнении алгебраической конструкции, так как структура V-представления остаётся неизменной. Это даёт