3. Оконное преобразование Фурье

3.1. Создание цифровых сигналов на основе аналоговых сигналов

Даны цифровые сигналы:

y1=sin(2πf1t1)+sin(2πf2t2)+sin(2πf3t3),t1∈[0,1),t2∈[1,2),t3∈[2,3)

y2=1/3[sin(2πf1t)+sin(2πf2t)+sin(2πf3t)],t∈[0,3)

y3=sin(2π(t+0.5)t),t∈[0,3)

и частоты 1=1 Гц,f2=2 Гц,f3=3 Гц

Частоту дискретизации возьмем равную 1000. Построим данные сигналы (рис. 16) и их амплитудные спектры (рис. 17).

Рисунок 16 - Сигналы y1, y2, y3 во временной области.

Рисунок 17 - Амплитудные спектры всех трех сигналов.

Сигнал y1:

На амплитудном спектре видно три основных пика вблизи частот 1 Гц, 2 Гц и 3 Гц, что соответствует трём гармоническим компонентам исходного сигнала. Эти пики широкие и сопровождаются заметными боковыми лепестками, что является следствием ограничения каждой синусоиды по времени одним интервалом. Амплитуды пиков не одинаковы. Частоты присутствуют не одновременно, а последовательно во времени.

Сигнал y2​:

Представляет собой сумму трёх синусоидальных колебаний с частотами f1=1, f2=2 и f3=3 действующих одновременно на всём интервале наблюдения t ∈ [0,3). На амплитудном спектре отчётливо видны три узких и чётко выраженных пика вблизи частот 1 Гц, 2 Гц и 3 Гц, которые соответствуют этим гармоникам. В отличие от сигнала y1​, все частоты присутствуют непрерывно во времени, поэтому спектр дискретный, без заметных боковых лепестков и размытия. Амплитуды всех трёх пиков примерно одинаковы.

Сигнал y3:

Имеет широкополосный характер — вместо отдельных пиков виден непрерывный, растянутый по частоте спектр, в диапазоне примерно от 0.5 до 6 Гц. Отдельные резкие максимумы отсутствуют, амплитуда плавно убывает с ростом частоты, что отражает непрерывное изменение частоты во времени.

3.2. Построение спектрограмм сигналов

Далее построим спектрограммы сигналов с помощью функции stft, использовав в качестве оконной функции функцию Хемминга длинной в 1%, 10%,. 30% от длины сигнала.

Зададим: всего 3000 отсчётов, длительность 3 с fs=1000 Гц. Окна Хэмминга длиной: 1% (30 сэмплов), 10% (300), 30% (900).

Сигнал y1 (рис. 18).

1% (30): При коротком окне достигается высокая точность по времени. Видны моменты смены частот, но частотное разрешение низкое, и полосы частот выглядят широкими.

10% (300): Пики более заметны, частоты ближе к реальным.

30% (900): При данном разрешении хорошо прослеживаются отдельные компоненты, но теряется переход от одной частоте к другой.

Короткое окно лучше отображает временные переходы, а длинное — частотное содержание сигнала.

Рисунок 18 - спектрограммы для сигнала y1.

Сигнал y2​ (рис. 19).

1% (30): Отдельные гармоники сливаются и выглядят как широкие полосы, по прежнему хорошо прослеживается время.

10% (300): Прослеживается каждая пиковая частота сигнала и спады амплитуды. Видно, что спектр не меняется по оси времени, что соответствует изображению амплитудного спектра сигнала (рис. 17), но все еще присутствует размытие по частоте.

30% (900): Отдельные линии видны лучше, так как длительность окна большая, спектральное разрешение выше. Временная точность снизилась, но картинка стала более четкой по частоте.

Рисунок 19 - спектрограммы для сигнала y2.