2. Дискретное преобразование Фурье (dft)
2.1. Доказательство свойств dft
Возьмем тестовый сигнал y(n)=sin(2πftn) и докажем свойства дискретного преобразования Фурье:
Линейность: ax(n)+by(n)≓aX(k)+bY(k)
Сдвиг по времени: x(n−n0)≓X(k)exp(−2πin0kN)
Свертка по времени: (x∗y)(n)≓X(k)Y(k)
Произведение: x(n)y(n)≓1/N*X(k)∗Y(k)
Были взяты следующие параметры:
N = 1024
fs = 1000
Частота первого сигнала: f1 = 50
Частота второго сигнала: f2 = 100
Первый сигнал: x = np.sin(2 * np.pi * f1 * t)
Второй сигнал: y = np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
Для проверки свойства линейности: a = 1, b = 0.5
Для проверки свойства сдвига по времени: n0 = 10
Проверим свойства путем сопоставления графиков амплитудного и фазового спектра для левой и правой части равенства (рис. 4 - 7).
Рисунок 4 - Проверка свойства линейности
Погрешность: 5.68e-14
Рисунок 5 - Проверка свойства сдвига по времени
Погрешность: 2.19e-12
Рисунок 6 - Проверка свойства свертки по времени
Погрешность: 3.22e-13
Рисунок 7 - Проверка свойства произведения.
Погрешность: 9.53e-14
Вывод: Разница левых и правых частей минимальна, что доказывает их равенство.
2.2 Анализ сигналов с помощью дискретного преобразования Фурье
Создадим тестовый дискретный комплексный гармонический сигнал x(n)=exp(i2πtn) с частотой 1 Гц и длительностью 1 с. Построим его амплитудный и фазовый спектры (рис. 8). Частота сигнала совпадает с дискретной частотой, поэтому на амплитудном спектре сигнал присутствует в одном частотном отсчете без утечек (рис. 8).
Рисунок 8 - Амплитудный и фазовый спектры сигнала.
Далее построим амплитудный и фазовый спектр, увеличив количество отсчетов сигнала до 200 с помощью дополнения нулями (рис. 9). Видим пик на частоте 1 Гц и появившиеся боковые лепестки, уменьшающиеся по амплитуде с увеличением частоты. Фазовый спектр линейно зависим от частоты.
Рисунок 9 - Спектры после дополнения нулями
Сравним это со спектром непрерывного комплексного гармонического сигнала. Главный лепесток амплитудного спектра дискретного сигнала, дополненного нулями, совпадает с частотой 1 Гц и теоретическим спектром и исходным сигналом. Фазовый спектр вблизи основной гармоники равен нулю, на других частотах видны сдвиги из за конечной длины сигнала.
Рисунок 10 - Сравнение амплитудных и фазовых спектров.
Построим амплитудный и фазовый спектр с использованием оконной функции (рис. 11). Наблюдаем подавление боковых лепестков и расширение основного пика. Это происходит, так как работает правило: чем сильнее подавление боковых лепестков спектра, тем шире главный лепесток спектра, и наоборот. Следовательно, применение оконных функций уменьшает спектральные искажения, но размывает основную гармонику.
Рисунок 11 - Спектр с оконной функцией.
2.3. Анализ практически полученных сигналов с помощью dft
Построим амплитудный и фазовый спектр сигналов, полученных в лабораторной работе №1. Результаты занесем в таблицу, показывающую данные, полученные теоретически, практически и по результатам построения спектров.
Сравнительная таблица
Теоретическое значение |
Приблизительная оценка |
Моделируемые значения |
||||||
f, Гц |
А, В |
фаза |
f, Гц |
А, В |
угол |
f, Гц |
А, В |
фаза |
100 |
1 |
0 |
100 |
0.8 |
-1.8 |
100 |
1.03 |
-2.898 |
2500 |
1 |
0 |
2.7 |
0.8 |
1.05 |
2496.9 |
1.7 |
2.31 |
5000 |
1 |
0 |
0.82 |
0.86 |
2.0 |
0.8 |
1.12 |
0.89 |
10000 |
1 |
0 |
1.017 |
0.85 |
-2.7 |
0.2 |
1.45 |
-1.56 |
Таблица 2 - Оценка частоты и амплитуды основной гармоники сигнала.
Для сигнала f = 100:
Амплитуда основной гармоники: 1.0348
Основная гармоника:
Частота = 100.00 Гц
Фаза = -166.05° -2.898 рад
Так как сигнал находится ниже частоты Найквиста, наложений спектра не происходит. Ненулевая фаза объясняется началом отсчета с некоторого угла при снятии сигнала. Спектр содержит пик на частоте 100 Гц, что соответствует теоретическим данным и приблизительной оценке (рис. 12).
Рисунок 12 - Спектр сигнала 100 Гц.
Для сигнала f=2500.
Амплитуда основной гармоники: 1.7052
Основная гармоника:
Частота = 2496.90 Гц
Фаза = 132.32° 2.31 рад
Сигнал с данной частотой приходится на частоту Найквиста. По этой причине сигнал описывается двумя отсчетами на каждый период. Наблюдаются несоответствия практических значений с теоретическими при анализе амплитуды и небольшое смещение частоты основной гармоники (рис. 13).
Рисунок 13 - Спектр сигнала 2500 Гц.
Для сигнала f = 5000.
Амплитуда основной гармоники: 1.1203
Основная гармоника:
Частота = 0.80 Гц
Фаза = 51.24° 0.89 рад
Частота сигнала равна частоте дискретизации. Из за того, что спектры накладываются друг на друга и для сигнала f=5000, и для f=10000, пик наблюдается около 0 Гц. Амплитуды основной гармоники приблизительно равны теоретической амплитуде (рис. 14, 15).
Рисунок 14 - Спектр сигнала 5000 Гц.
Для сигнала f=10000.
Амплитуда основной гармоники: 1.4461
Основная гармоника:
Частота = 0.20 Гц
Фаза = -89.57° -1.56 рад
Рисунок 15 - Спектр сигнала 10000 Гц.