1.2. Графическая интерпретация свойств

1) Линейность

На графиках спектр суммы сигналов представляет собой сумму их спектров. Если сложить два синусоидальных сигнала с разными частотами, на амплитудном спектре появятся два соответствующих пика, а их высоты будут пропорциональны коэффициентам a и b. Фазовый спектр также складывается линейно.

2) Сдвиг во времени

На амплитудном спектре сдвиг сигнала во времени не вызывает изменений - пики остаются на тех же частотах с той же амплитудой. Однако фазовый спектр изменяется: появляется линейный наклон, где наклон прямой пропорционален величине сдвига n0.

3) Модуляция

При умножении сигнала на комплексную экспоненту весь спектр сдвигается по частоте. Если исходный сигнал имел спектр с пиком на частоте f, то после модуляции пик перемещается на частоту f+f0. На графиках это выглядит как параллельный перенос всего спектра вдоль частотной оси.

4) Масштабирование во времени

Сжатие сигнала во времени (a>1) приводит к расширению его спектра по частоте и уменьшению амплитуды. Растяжение сигнала во времени (a<1) вызывает сужение спектра и увеличение амплитуды. На графиках это выглядит как "растягивание" или "сжатие" спектра вдоль частотной оси.

5) Свертка во времени

Свертка двух сигналов во временной области соответствует умножению их спектров на каждой частоте. Результирующий спектр сохраняет только те частоты, которые присутствуют в обоих исходных спектрах; частотное представление показывает, какие частоты остаются.

6) Произведение во времени

Умножение сигналов во временной области соответствует свертке их спектров в частотной области. Графически это выглядит как "размытие" спектров - острые пики становятся шире.

7) Дифференцирование

Дифференцирование сигнала во временной области соответствует умножению его спектра на линейно возрастающую функцию j2πk в частотной области. На амплитудном спектре это проявляется как усиление высокочастотных компонент и ослабление низкочастотных. Фазовый спектр сдвигается на π/2 для всех частот.

1.3. Сравнений свойств преобразования Фурье, Лапласа и z-преобразования

свойство	Фурье	Лаплас	Z-преобразование
Линейность
Сдвиг по времени
Модуляция
Масштабирование
Свертка во времени
Произведение во времени
Дифференцирование

Таблица 1 - Сравнение свойств преобразований Фурье, Лаплса, Z-преобразования.

Свойство линейности: Во всех трёх преобразованиях выполняется свойство линейности: преобразование суммы или линейной комбинации сигналов равно такой же комбинации их преобразований.

Свойство сдвига по времени: Сдвиг сигнала во времени переходит в умножение преобразования на экспоненциальный множитель, зависящий от параметра преобразования ( , , )

Модуляция: В Фурье-преобразовании умножение на вызывает сдвиг спектра на . В Лаплас-преобразовании умножение на сдвигает аргумент на . В Z-преобразовании умножение последовательности на заменяет аргумент на . Модуляция во временной области соответствует сдвигу преобразования по оси аргумента: частотного (для Фурье), комплексного (для Лапласа) или дискретного (для Z-преобразования).

Масштабирование: В Фурье: сжатие сигнала по времени ( ) растягивает его спектр . В Лапласе: аналогично, приводит к . В Z-преобразовании прямого аналога нет, так как сигнал дискретен и изменение шага времени не определено (это уже изменение частоты дискретизации). Масштабирование времени в непрерывных преобразованиях изменяет масштаб частотного представления — чем короче сигнал во времени, тем шире его спектр.

Свертка по времени

В Фурье, Лаплас и Z-преобразованиях свёртка во времени соответствует умножению преобразований:

, ,

Произведение во времени

Умножение во временной области превращается в операцию свёртки в частотной области.

Дифференцирование: В Фурье: дифференцирование по времени соответствует умножению спектра на . В Лапласе: , что учитывает начальные условия. В Z-преобразовании: , что использует разность. Дифференцирование во времени переходит в умножение на частотную переменную.