МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра Систем автоматизированного проектирования

отчет

по лабораторной работе №2

по дисциплине «Основы обработки цифровых сигналов»

Тема: Анализ сигналов методами дискретного и оконного преобразования Фурье.

Студенты гр. 3352	________________	Алексеев А.А.
	________________	Гареева К.Р.
	________________	Жигунова О.М.

Преподаватель

________________

Пестерев Д.О.

Санкт-Петербург

2025

Цель работы

Изучить свойства преобразований Фурье, Лапласа и Z-преобразования, провести их сравнительный анализ, а также освоить методы анализа сигналов с использованием дискретного и оконного преобразования Фурье.

Задачи:

1) С помощью символьного движка в SymPy при условии что f(t)≓F(ω), g(t)≓G(ω) докажите следующие свойства преобразования Фурье:

1. af(t)+bg(t)≓aF(ω)+bG(ω)

2. f(t−t0)≓F(ω)exp(−iωt0)

3. f(t)exp(iω0t)≓F(ω−ω0)

4. f(kt)≓1/|k|F(ω/k)

5. (f∗g)(t)≓F(ω)G(ω)

6. f(t)g(t)≓1/2πF(ω)∗G(ω)

7. df(t)/dt≓iωF(ω)

Зафиксировать полученные результаты. Подумать над графической интерпретацией свойств. Сравнить свойства преобразования Фурье с аналогичными свойствами преобразования Лапласа и Z-преобразования.

2) Используя функцию fft и взяв в качестве тестового сигнала y(n)=sin(2πftn), доказать следующие свойства дискретного преобразования Фурье путем сопоставления графиков амплитудного и фазового спектра для левой и правой части равенства:

ax(n)+by(n)≓aX(k)+bY(k)

x(n−n0)≓X(k)exp(−2πin0kN)

(x∗y)(n)≓X(k)Y(k)

x(n)y(n)≓(1/N)X(k)∗Y(k)

3) Создать тестовый дискретный комплексный гармонический сигнал x(n)=exp(i2πtn) частотой 1 Гц длительностью 1 с. Построить его амплитудный и фазовый спектр. Построить амплитудный и фазовый спектр, увеличив количество отсчетов сигнала до 200 с помощью дополнения нулями. Сравнить это с спектром непрерывного комплексного гармонического сигнала. Построить амплитудный и фазовый спектр с использованием оконной функции. Построить амплитудный и фазовый спектр сигналов, полученных в лабораторной работе №1. Оценить частоту и амплитуду основной гармоники сигнала, сравнить его с теоретическим значением.

4) Создать цифровые сигналы на основе следующих аналоговых сигналов, задав подходящую частоту дискретизации:

y1=sin(2πf1t1)+sin(2πf2t2)+sin(2πf3t3),t1∈[0,1),t2∈[1,2),t3∈[2,3)

y2=13[sin(2πf1t)+sin(2πf2t)+sin(2πf3t)],t∈[0,3)

y3=sin(2π(t+0.5)t),t∈[0,3)

f1=1 Гц,f2=2 Гц,f3=3 Гц

Построить графики амплитудного спектра и сравнить их. Построить спектрограммы сигналов с помощью функции stft, использовав в качестве оконной функции функцию Хемминга длинной в 1%, 10%,. 30% от длины сигнала. Сравнить их и сделать вывод об отличии.

Ход работы

1. Преобразование Фурье (ft)

1.1. Доказательство свойств преобразования Фурье

Даны следующие свойства преобразования Фурье:

1. af(t)+bg(t)≓aF(ω)+bG(ω)

2. f(t−t0)≓F(ω)exp(−iωt0)

3. f(t)exp(iω0t)≓F(ω−ω0)

4. f(kt)≓1/|k|*F(ωk)

5. (f∗g)(t)≓F(ω)G(ω)

6. f(t)g(t)≓1/(2π)*F(ω)∗G(ω)

7. df(t)/dt≓iωF(ω)

Докажем эти свойства с помощью движка SymPy при условии, что f(t)≓F(ω), g(t)≓G(ω). Для этого создадим функцию, которая заменяет преобразования Фурье на символьные представления по данным свойствам, зададим левую и правую часть выражений и сравним с помощью формальной символьной проверки части. Результаты выведены в консоль и представлены на рисунках 1-3.

Рисунок 1 - Проверка свойств линейности и сдвига.

Рисунок 2 - Проверка свойств модуляции и масштабирования.

Рисунок 3 - Проверка свертки, произведения и производной.