Квадратичная форма Квадратичная форма и ее виды

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Наиболее простая дифференцируемая функция, которая может иметь экстремум. Входит как компонент в ряд тейлора, поэтому ее свойства связанны с любой дифф функцией.

Матричная запись:

\Q_A(x) = x^TAx,

где A – квадратная матрица.

В зависимости от знака принимаемых квадратичной формой значений, различают по- ложительно определенную, положительно полуопределенную, отрицательно определенную, отрицательно полуопределенную и знакопеременную квадратичные формы.

Положительно определенная квадратичная форма:

x^TAx > 0, ∀x /= 0

Положительно полуопределенная квадратичная форма:

x^TAx ≥ 0, ∀x /= 0

Отрицательно определенная квадратичная форма:

x^TAx < 0, ∀x /= 0

Отрицательно полуопределенная квадратичная форма:

x^TAx ≤ 0, ∀x /= 0

Знакопеременная квадратичная форма:

Графики квадратичных форм в зависимости от их знакоопределенности приведены на рисунках 1–4.

Рис. 1 – График положительно-определенной квадратичной формы

Рис. 2 – График отрицательно-определенной квадратичной формы

Рис. 3 – График положительно-полуопределенной квадратичной формы

Рис. 4 – График знакопеременной квадратичной формы

Собственные числа и собственные вектора

Для матрицы A собственными числами и собственными векторами называются такие числа λ_i и вектора v_i, что умножение матрицы на собств вектор рано умножению собств числа на этот вектор.

Av_i = λ_iv_i.

Смысл собственного вектора – умножение его на матрицу A дает коллинеарный вектор, умноженный на некоторое скалярное значение. Вектор направлен как исходный или в противоп сторону.

Собственные числа могут быть найдены как корни уравнения: I - единичная матрица.

|A − λ_iI| = 0

Теорема Если матрица A – симметричная и имеет линейно-независимые собственные векторы v_i, то из них можно построить ортонормированный базис B = (v₁, v₂, . . . , v_n). Пусть y – координаты вектора x в базисе B:

y = Bx.

Тогда в этом базисе квадратичная форма имеет вид. Отсюда видно что знаки собств чисел имеют влияние на знакоопределенность чисел матрицы.

Знакоопределенность матрицы, критерий экстремума для многомерной функции

Для положительной определенности матрицы A необходимо и достаточно положительности ее собственных чисел:

∀i : λ_i > 0

Для положительной полуопределенности матрицы A необходимо и достаточно неотрицательности ее собственных чисел:

∀i : λ_i ≥ 0

Для отрицательной определенности матрицы A необходимо и достаточно отрицательности ее собственных чисел:

∀i : λ_i < 0

Для отрицательной полуопределенности матрицы A необходимо и достаточно неположительности ее собственных чисел:

∀i : λ_i ≤ 0

Связь знакоопределенности и значений собственных чисел иллюстрирует таблица 1.

Тип квадратичной формы	Множество собственных значений
Положительно определенная ∀x /= 0 : f (x) > 0	Все с.ч. положительны ∀i : λi > 0
Отрицательно определенная ∀x /= 0 : f (x) < 0	Все с.ч. отрицательны ∀i : λi < 0
Знакопеременная Ix : f (x) > 0, Iy : f (y) < 0	Есть с.ч. разных знаков Ii, j : λi > 0, λj < 0
Вырожденная rankA < n	Есть с.ч., равное нулю Ii : λi = 0

Критерий минимума (максимума) дважды дифференцируемой функции векторного аргумента следующий.

Пусть f (x) дважды дифференцируема в точке , причем x^∗ – стационарная точка.

Тогда, если матрица H(x^∗) является положительно (отрицательно) определенной, то x^∗ – точка локального минимума (максимума);

Если матрица H(x^∗) является знакопеременной, то x^∗ – седловая точка.

Если матрица H(x^∗) является неотрицательно (неположительно) определенной, то для определения характера стационарной точки x^∗ требуется исследование производных более высокого порядка.