Поле и пространство Поле

Поле – множество, над которым определены операции сложения, умножения и выполнены аксиомы поля:

1. Коммутативность сложения: a + b = b + a

2. Ассоциативность сложения: a + (b + c) = (a + b) + c

3. Существование нуля: a + 0 = a

4. Существование противоположного элемента: a + (−a) = 0

5. Коммутативность умножения: a · b = b · a

6. Ассоциативность умножения: a · (b · c) = (a · b) · c

7. Существование единицы: a · 1 = a

8. Существование обратного элемента: a · a⁻¹ = 1

9. Дистрибутивность умножения относительно сложения: a · (b + c) = a · b + a · c

10. Нетривиальность поля: 1 /= 0

Примеры полей:

• Рациональные числа: Q Действительные числа: R Комплексные числа: C

Натуральные и целые не являются полями.

Пространство

Пространство – множество с некоторой добавочной структурой. Так повседневный опыт дает интуитивное представление о трёхмерном евклидовом пространстве.

Что понимается под добавочной структурой? Рассмотрим на примере. Пространство, в котором мы живем – это не просто множество точек, эти точки находятся в некотором отношении. Например, между двумя точками нашего пространства можно найти расстояние – длину отрезка, соединяющего эти точки. Кроме того, в нашем пространстве можно определить направление отрезка между двумя точками, то есть это будет не просто отрезок, а вектор.

Пространство определяется над полем. Это значит, что элементы (точки) пространства ассоциированы с элементами соответствующего поля. Например, если пространство опре- делено над полем R, то координаты его точек – действительные числа.

В данном курсе нам важно рассмотреть следующие виды пространств:

1. Векторное пространство

2. Метрическое пространство

3. Нормированное векторное пространство

4. Полное метрическое пространство

5. Банахово пространство

6. Евклидово пространство

7. Гильбертово пространство

Поясним, что представляет из себя каждое из этих пространств.

Векторное пространство – набор векторов, скаляров и операций между ними:

+ (сложение векторов)

· (умножение на скаляр)

Нормированное векторное пространство – векторное пространство V с заданной на нем нормой

p : V → R¹ ≥ 0. (длина вектора, фия сопоставляет вектору некоторое неотрицательное число)

Метрическое пространство – непустое множество X, в котором определено расстояние (метрика):

d : X × X → R¹ ≥ 0.(фия котораядвум элем мнова х сопоставляет метрику неотриц скаляр)

Векторное	Нормированное	Метрическое

Полное метрическое пространство – метрическое пространство (X, d), на котором любая фундаментальная последовательность {x_n} сходится.

Фундаментальная последовательность – это такая последовательность x_n, что, начиная с некоторого номера N расстояние между двумя элементами, номера которых больше N, становится меньше произвольной малой величины ε:

∀ε > 0, ∃N ∈ N: d (x_n, x_m) < ε для всех m, n > N.

Понятие сходимости означает, что предел последовательности x_n существует и равен некоторому числу x^∗:

lim_n→∞ x_n = x^∗.

На первый взгляд неочевидно, что существуют неполные пространства, то есть такие, в которых фундаментальные последовательности не сходятся. Приведем пример такого пространства.

Пусть пространство M определено над полем Q, и метрика определена как длина отрезка

d(x, y) = |x − y|.

Тогда последовательность является последовательностью Коши:

При этом ее предел lim_n→∞ x_n = √2 ∈/ Q, следовательно, M не является полным.

Банахово пространство – нормированное векторное пространство, полное по метрике, порожденной нормой. Является основным объектом функционального анализа.

Евклидово пространство – конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением:

V × V → R¹ ≥ 0

Гильбертово пространство – обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность.