Множество и функция Множество

Согласно формулировке, восходящей к Георгу Кантору, множество – совокупность некоторых объектов, называемых элементами множества. В этой формулировке от множества как математического объекта больше ничего не требуется, и теория, оперирующая таким определением, носит название наивной теории множеств.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, например, X, Y . Пример условного обозначения множеств приведен на Рисунке 1.

Р ис. 1 – Условное изображение множеств

Способы задания множеств:

• Перечисление: X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}.

• Описание свойств элементов x_i, определяющих их принадлежность X.

Пример множеств: множество студентов группы, множество фруктов на столе, множество всех целых чисел.

Выделяют также особый вид множества – пустое множество.

В 1901 году Бертран Рассел открыл парадокс, демонстрирующий противоречивость наивной теории множеств. Рисунок 2 иллюстрирует этот парадокс. Предположим, есть обычные множества – множества, не содержащие сами себя в качестве элемента. Есть необычные множества – множества, содержащие сами себя в качестве элемента, обозначим их звездочкой. Тогда будет ли множество всех обычных множеств обычным? Если оно обычное, то оно содержит само себя и, следовательно, оно необычное – получаем противоречие. Если оно необычное, то оно не содержит само себя, и, следовательно, оно обычное – получаем противоречие снова.

Рис. 2 – Иллюстрация парадокса Рассела

Парадокс можно решить, если каким-либо способом запретить существование множества, содержащего само себя. Например, в теории множеств Неймана-БЕрнайса-Гёделя совокупность всех множеств является классом. Этот класс не является множеством и не является элементом никакого класса, таким образом, необычные множества невозможны.

Функция

Функция – бинарное отношение между двумя множествами X и Y , при котором каждому элементу множества X соответствует один и только один элемент множества Y .

На рисунке 3a показано отношение, заданное стрелочками из множества X, состоящего из 5 элементов, в множество Y , состоящее из 5 элементов. Очевидно, это отношение полностью удовлетворяет определению функции. На рисунке 3b также показано отношение, удовлетворяющее определению функции: одному элементу множества X по-преженму соответствует один и только один элемент множества Y , хотя для x₄ и x₅ это один и тот же элемент y₄. На рисунке 3c показано отношение, не удовлетворяющее определению функции сразу по двум причинам: во-первых, элементу x₅ не соответствует ни один элемент множества Y , а во-вторых, элементу x₄ соответствуют одновременно два элемента множества Y , а именно y₄ и y₅.

Рис. 3 – Примеры отношений между множествами: (a),(b) функция, (c) не функция

Декартово произведение двух множеств – множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

Обозначение:

X × Y.

Элементы декартова произведения:

(x, y) ∈ X × Y.

Функция как отображение между множествами обозначается с помощью символа двоеточия: (отображение из множества х в множество у):

f : X → Y,

f : X × Y → Z.

Классическое обозначение, которое мы будем употреблять в дальнейшем чаще всего, знакомо читателю со школы:

y = f (x).