МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКОГО УРОВНЯ СИСТЕМЫ РАДИОДОСТУПА (ДЕМОДУЛЯЦИЯ)
Рассмотрим сначала случай, когда число полезных сигналов m=2.
Алгоритм работы оптимального различителя сводится к вычислению отношения функций правдоподобия
L(M)(u)=w(u|s1)/w(u|s2)
и сравнения его с порогом L0 = p1/p2, где p1 и p2- априорные вероятности появления сигналов s1(t) и s2(t) соответственно.
Найдем структуру функции правдоподобия w(u|sr), r = 1,2.
С учетом введенной модели сигнала на входе приемника многомерная плотность w(u|sr) определяется многомерной плотностью w(n) с последующей заменой n в соответствии с выражением n=u-sr.
МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКОГО УРОВНЯ СИСТЕМЫ РАДИОДОСТУПА (ДЕМОДУЛЯЦИЯ)
Многомерную выборку n=(n1...,nM) можно задать различными способами.
Наиболее удобным является способ, когда в качестве координат nk, k=1, ..., М, вектора n используют коэффициенты разложения Карунена - Лоэва cлучайного процесса n(t).
С учетом свойств разложения Карунена - Лоэва и закона распределение процесса n(t) можно утверждать, что координаты nk, k=1, ..., М, являются независимыми гауссовскими случайными величинами с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями σ2k.
Соответственно М-мерная плотность вероятности определяется как |
||||||||||
w(n ,..., n |
) |
2 |
|
|
M |
|
1 |
M |
2 |
. |
|
M |
1 exp |
|
nk |
||||||
|
M |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
2 k 1 |
k |
|
|
МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКОГО УРОВНЯ СИСТЕМЫ РАДИОДОСТУПА (ДЕМОДУЛЯЦИЯ)
Аналогично в качестве координат векторов u=(u1, u2,..., uM) и sr=(sr1,sr2,...,srM) возьмем коэффициенты разложения Карунена-Лоэва сигналов u(t) и s(t).
При увеличении размера выборки М коэффициенты nk остаются статистически независимыми гауссовскими величинами и вид распределения сохраняется.
Учитывая, что n=u-sr, nk=uk-srk, w(u|sr)=w(n)=w(u-sr) находим выражение для функции правдоподобия
|
|
|
|
|
|
|
M |
M |
1 |
|
|
|
1 |
M |
(uk srk ) |
2 |
|
w |
|
u | s |
r |
2 |
k |
exp |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k 1 |
k |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКОГО УРОВНЯ СИСТЕМЫ РАДИОДОСТУПА (ДЕМОДУЛЯЦИЯ)
Соответственно, отношение правдоподобия
L M (u) w u | s1
w u | s2
|
|
|
1 |
M |
(u |
|
s |
)2 |
|
||
|
exp |
|
|
|
|
k |
2 |
1k |
|
|
|
|
|
|
2 k 1 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
1 |
M |
(u |
|
|
s |
|
)2 |
||
|
exp |
|
|
|
k |
2 |
2k |
|
|
||
|
|
|
2 k 1 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
M |
|
2 |
|
|
M |
uk s1k |
|
|
|||
|
exp |
|
|
s1k |
exp |
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
2 k 1 |
|
k |
|
|
k 1 |
|
k |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
uk s2k |
|
||||
|
|
1 |
M |
|
M |
|
|||||||||
|
exp |
|
|
s2k |
exp |
|
|
||||||||
|
|
2 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
2 k 1 |
k |
|
|
k 1 |
k |
|
|
|||||
МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКОГО УРОВНЯ СИСТЕМЫ РАДИОДОСТУПА (ДЕМОДУЛЯЦИЯ)
Предельная форма отношения правдоподобия Λ(u)= lim Λ(M)(u) при М→∞ называется функционалом отношения правдоподобия.
Правило принятия решения можно для рассматриваемого случая записать в виде (где f(Λ)-монотонная функция, определенная для всех значений аргумента отношения правдоподобия Λ(u)):
|
|
|
|
s1 |
|
|
|
|
|
f |
|
|
u |
f |
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
|
|
|
|
|
МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКОГО УРОВНЯ СИСТЕМЫ РАДИОДОСТУПА (ДЕМОДУЛЯЦИЯ)
Так как Λ(u) > 0 и Λ0 > 0, то в качестве f(Λ) целесообразно выбрать логарифмическую функцию. Тогда, переходя в формуле на слайде 23 к пределу при М→∞ и логарифмируя полученное выражение, получаем
M |
u |
|
1 |
M |
s2 |
s2 |
||
ln (u) |
k |
s1k s2k |
|
|
1k |
|
2k |
. |
2 |
|
|
2 |
|
||||
k 1 |
k |
|
2 k 1 |
|
k |
|
|
|
МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКОГО УРОВНЯ СИСТЕМЫ РАДИОДОСТУПА (ДЕМОДУЛЯЦИЯ)
Так как Λ(u) > 0 и Λ0 > 0, то в качестве f(Λ) |
|||||
целесообразно выбрать логарифмическую |
|||||
функцию. Тогда, переходя в формуле на слайде |
|||||
23 к пределу при М→∞ и логарифмируя |
|||||
полученноеuk выражение1, получаеs1k s2k м |
|||||
M |
M |
2 |
2 |
||
ln (u) |
|
s1k s2k |
|
|
2 . |
2 |
|
||||
k 1 k |
2 k 1 |
|
k |
||
Пусть n(t) представляет собой белый шум с корреNляционной функцией
R 20 .
МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКОГО УРОВНЯ СИСТЕМЫ РАДИОДОСТУПА (ДЕМОДУЛЯЦИЯ)
Тогда выражение для логарифма функционала отношения правдоподобия приобретает вид:
|
2 |
M |
1 |
M |
|
ln (u) |
uk s1k s2k |
s12k s22k . |
|||
N0 |
N0 |
||||
|
k 1 |
k 1 |
С учетом ортонормированности функций в ряде разложения Карунена-Лоэва можно записать:
M
uk s1k
k 1
M
s12k k 1
|
|
Tc |
s2k |
u(t) s1 (t) s2 (t) dt, |
|
|
|
0 |
|
Tc |
Tc |
s22k s12 (t)dt s22 (t)dt. |
||
|
0 |
0 |
МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКОГО УРОВНЯ СИСТЕМЫ РАДИОДОСТУПА (ДЕМОДУЛЯЦИЯ)
Тогда выражение для логарифма функционала отношения |
||||
правдоподобия приобретает вид: |
|
|
||
2 |
Tc |
1 |
|
|
ln (u) |
|
0 u(t) s1 (t) s2 (t) dt |
|
E1 E2 , |
N0 |
N0 |
|||
где Е1 и Е2 – энергии сигналов s1(t) и s2(t), соответственно.
МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКОГО УРОВНЯ СИСТЕМЫ РАДИОДОСТУПА (ДЕМОДУЛЯЦИЯ)
Тогда алгоритм работы оптимального (по критерию минимума полной вероятности ошибки) различителя для числа сигналов m=2 записывается в виде:
принимается решение в пользу сигнала s1(t), |
|||||||||
если2 |
Tc |
p |
|
E |
E |
|
, |
||
q N |
|
u(t) s1 (t) s2 (t) dt ln |
p |
N |
|
2 |
|||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|