2 семестр - 2 курс / ИДЗ_Роменский_1
.pdf
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(−2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
√30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ортогонализация 2 |
относительно 1: |
|
|
||||||||||||||
|
|
( |
|
) = ( |
|
|
) = |
( |
3 1+6 (−2) |
+(−9) 5 |
) |
1 |
||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
√30 |
√30 |
||||||
11
=− 5430 (−25 ) = − 59 (−25 ).
Вычитание проекции из 2:
1 (−2) =\\\\\\\\\\\
5
|
|
|
3 |
|
1 |
24 |
||
|
|
|
|
|
|
|||
′ |
|
|
9 |
5 |
|
|||
= |
− |
( ) = ( 6 ) + |
(−2) = (12). |
|||||
|
||||||||
2 |
2 |
1 |
2 |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
−9 |
|
5 |
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Нормализация ′ |
: |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
12√5 |
|
|||||
|
‖ ′ |
‖ = √( |
24 |
) |
+ ( |
) |
= |
, |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
5 |
|
5 |
|
|
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
(1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
√5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проверка ортогональности:
1 2 = √130 √15 (1 2 + (−2) 1 + 5 0) = √1500
Следовательно, векторы ортогональны.
Ответ: Ортонормированный базис образа: 1 =
1
ортонормированный базис ядра: 1 = 1 ( 1 ).
√6 −2
= 0.
1 |
|
1 |
1 |
|
2 |
||
|
(−2), = |
|
(1), |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
√30 |
2 |
√5 |
|
||||
5 |
0 |
||||||
11
7. ЗАДАНИЕ 7
|
Характеристический многочлен : |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
3 |
2 |
|
det( − ) = det ( −2 |
6 − |
2 ), |
|||
|
|
|
|
5 |
−9 |
−2 − |
det( − ) = (1 − ) 1 − 3 2 + 2 3, |
|
|||||
1 |
= det (6 − |
2 |
|
) = 2 |
− 4 + 6, |
|
|
−9 |
−2 − |
|
|
|
|
|
= det (−2 |
2 |
) = 2 − 6, |
|
||
1 |
5 |
−2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= det (−2 |
6 − ) = 5 − 12, |
|
|||
1 |
−5 |
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
det( − ) = (1 − )( 2 − 4 + 6) − 3 (2( − 3)) + 2 (5 − 12),
det( − ) = − 3 + 5 2 − 6 = − ( 2 − 5 + 6) = − ( − 2)( − 3).
Собственные числа:
1 = 0, 2 = 2, 3 = 3. |
|
|
|
||
Собственное число = 0: |
|
|
|
||
= 0, |
|
|
|
|
|
1 + 3x2 + 2x3 = 0, |
|
|
|
|
|
{−2 1 + 6 2 + 2 3 = 0, |
|
|
|
|
|
5 1 − 9 2 − 2 3 = 0. |
|
|
|
|
|
x1 |
1 |
|
|
|
|
= (x2) = ( 1 ). |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x3 |
−2 |
|
|
|
|
Собственное число = 2: |
|
|
|
||
( − 2 ) = 0, |
|
|
|
|
|
1 − 2 3 |
2 |
−1 |
3 |
2 |
|
− 2 = ( −2 6 − 2 |
2 ) = (−2 4 2 ), |
||||
5 |
−9 |
−2 − 2 |
5 |
−9 |
−4 |
− 1 + 3x2 + 2x3 = 0, {−2 1 + 4 2 + 2 3 = 0, 5 1 − 9 2 − 4 3 = 0.
x1 12 = (x2) = ( 1 ).
x3 −1
12
Собственное число = 3: |
|
|
|
|
|||
( − 2 ) = 0, |
|
|
|
|
|
||
|
1 − 3 |
3 |
2 |
−2 |
3 |
2 |
|
− 2 = ( −2 6 − 3 |
2 ) = (−2 3 2 ), |
|
|||||
|
5 |
−9 |
−2 − 3 |
5 |
−9 |
−5 |
|
−2 1 + 3x2 + 2x3 = 0, |
|
|
|
|
|
||
{−2 1 + 3 2 + 2 3 = 0, |
|
|
|
|
|
||
5 1 − 9 2 − 5 3 = 0. |
|
|
|
|
|
||
x1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
= (x2) = (0). |
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
Ответ: для = 0 |
- 1 = ( 1 ), для = 2 - 2 = ( 1 ), для = 3 - 3 = (0), |
||||||
|
|
|
−2 |
|
|
−1 |
1 |
13
8. ЗАДАНИЕ 8
Для построения матрицы оператора в базисе из собственных векторов достаточно расположить собственные значения на диагонали, так как в этом базисе оператор действует как умножение на соответствующие собственные значения.
Матрица перехода , столбцами которой являются координаты собственных векторов в стандартном базисе:
1 |
1 |
1 |
|
|
= ( 1 |
1 |
0). |
|
|
−2 |
−1 |
1 |
|
|
Поскольку |
1, |
2 |
и 3 |
являются собственными векторами , |
результирующая матрица будет диагональной с собственными числами на
диагонали. |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
= (0 |
2 |
0). |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
Ответ: |
= (0 |
2 |
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
14