_{МИНОБРНАУКИ РОССИИ}

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра Алгоритмической математики

отчет

по индивидуальном домашнему заданию №3

по дисциплине «Алгебра и геометрия»

Тема: Аналитическая геометрия

Студент гр. 4343		Роменский М.А.
Руководитель		Михальченко А.В.

Санкт-Петербург

2025

ЗАДАНИЕ

ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОго ДОМАШНЕго ЗАДАНИя №3

Студент Роменский М.А.
Группа 4343
Тема: Аналитическая геометрия Задание на практику: Рисунок 1 – Задание на практику
Студент гр. 4343		Роменский М.А.
Руководитель		Михальченко А.В.

содержание

1. ЗАДАНИЕ 1. 4

2. ЗАДАНИЕ 2. 5

3. ЗАДАНИЕ 3. 6

4. ЗАДАНИЕ 4. 7

5. ЗАДАНИЕ 5. 9

6. ЗАДАНИЕ 6. 10

7. ЗАДАНИЕ 7. 12

8. ЗАДАНИЕ 8. 14

1. ЗАДАНИЕ 1

Проверка, что является базисом в , путем нахождения определителя матрицы , составленной из векторов :

.

.

Определитель равен 1, что подтверждает, что векторы независимы и образуют базис.

Матрица перехода – это матрица, столбцами которой являются координаты векторов в базисе . Поскольку – стандартный базис, матрица совпадает с матрицей .

.

Матрица перехода является обратной к матрице . Так как , матрица обратима. Нахождение методом Гаусса с составлением расширенной матрицы:

.

.

Ответ: – базис в ,

, .

2. ЗАДАНИЕ 2

Вычисление в стандартном базисе :

.

,

,

.

Применение оператора к результату :

.

,

,

.

.

Перевод в базис с помощью матрицы :

.

Ответ: .

3. ЗАДАНИЕ 3

.

Поскольку , оператор обратим.

.

Поскольку , оператор необратим.

Ответ: Оператор обратим, оператор необратим.

4. ЗАДАНИЕ 4

Нахождение обратной матрицы в базисе :

Нахождение обратной матрицы в базисе :

,

,

.

.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Ответ: ,

5. ЗАДАНИЕ 5

Приведение матрицы к ступенчатому виду для нахождения ранга матрицы:

.

Количество ненулевых строк равно . Следовательно, ранг матрицы равен .

По теореме о ранге и дефекте размерность образа оператора   равна рангу матрицы , а размерность ядра равна разности количества столбцов и ранга.

,

.

Ответ: , .

6. ЗАДАНИЕ 6

Ядро одномерно, следовательно, базис состоит из одного вектора. Нахождение ненулевого базисного вектора ядра:

Система с матрицей уже была решена ранее, поэтому систему можно упростить.

Из второго уравнения следует:

.

Подстановка в первое уравнение:

,

.

Пусть , тогда , .

Тогда вектор имеет вид:

.

Нормализация вектора:

,

.

Образ оператора порождается столбцами матрицы . Ранг матрицы равен 2, поэтому базисом образа являются два линейно независимых столбца матрицы .

,

Нормализация первого вектора:

,

.

Ортогонализация относительно :

.

Вычитание проекции из :

.

Нормализация :

,

.

Проверка ортогональности:

.

Следовательно, векторы ортогональны.

Ответ: Ортонормированный базис образа: , ,

ортонормированный базис ядра: .

7. ЗАДАНИЕ 7

Характеристический многочлен :

,

,

,

,

,

,

.

Собственные числа:

, , .

Собственное число :

,

.

Собственное число :

,

,

.

Собственное число :

,

,

.

Ответ: для - , для - , для - ,

8. ЗАДАНИЕ 8

Для построения матрицы оператора   в базисе из собственных векторов достаточно расположить собственные значения на диагонали, так как в этом базисе оператор действует как умножение на соответствующие собственные значения.

Матрица перехода , столбцами которой являются координаты собственных векторов в стандартном базисе:

.

Поскольку , и являются собственными векторами , результирующая матрица будет диагональной с собственными числами на диагонали.

.

Ответ: .