Волков / Конспекты (в LaTeX) / 18_VolkovYN_TPN
.pdfНациональный исследовательский ядерный университет
«МИФИ»
Институт ядерной физики и технологий
Конспект лекции №18
Замедление нейтронов в непоглощающей среде
Преподаватель: Волков Ю.Н. Группа: ТПН Дата: 26.11.2025
Москва, 2025
Содержание
1 |
Замедление нейтронов в непоглощающей среде на ядрах с массой A > 1 |
2 |
2 |
Асимптотическая область энергии и спектр Ферми |
3 |
3 |
Замедление нейтронов в смеси ядер |
4 |
4 |
Замедляющая способность и коэффициент замедления |
5 |
1
1Замедление нейтронов в непоглощающей среде на ядрах с массой A > 1
[00:42] Рассмотрим гомогенную, однородную, бесконечную среду с равномерно распределёнными источниками моноэнергетических нейтронов с начальной энергией E0. Для описания процесса замедления используется уравнение замедления для плотности замедления
Fs(E) = Σs(E)Φ(E):
|
|
|
|
Fs(E) = ˆ min(Eα , E0) Fs(E′) |
dE′ |
|
+ q δ(E |
− |
E0) |
(1.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
E |
|
|
E′(1 − α) |
|
|
|
|||||
|
где α = |
A−1 |
|
2 — минимальная доля энергии, сохраняемая нейтроном при рассеянии, |
|||||||||||
A |
|
A+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— массовое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[06:20] Для первой ступеньки замедления (αE0 < E < E0) уравнение принимает вид: |
||||||||||||||
|
|
|
|
Fs(1)(E) = ˆ E0 |
Fs(1)(E′) |
|
dE′ |
|
+ q δ(E |
− |
E0) |
(1.2) |
|||
|
|
|
|
E′(1 − α) |
|||||||||||
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|||||
[13:30] Представим плотность замедления как сумму:
Fs(1)(E) = Fes(1)(E) + q δ(E − E0),
где Fes(1)(E) — вклад нейтронов, испытавших хотя бы одно столкновение. Подстановка в (5.2) даёт:
Fs(1) |
(E) + q δ(E |
− |
E0) = |
ˆ E0 |
Fs(1) |
(E′) |
dE′ |
|
+ |
q |
|
+ q δ(E |
− |
E0) |
(1.3) |
|
E′(1 − α) |
E0(1 − α) |
|||||||||||||||
e |
|
|
E |
e |
|
|
|
|
|
|||||||
[14:30] Продифференцируем обе части по E, чтобы получить дифференциальное уравнение:
dFes(1)(E) = −Fes(1)(E) |
dE |
E(1 − α) |
[16:20] Разделим переменные и проинтегрируем:
ˆ |
dFs(1) |
− |
ˆ |
dE |
|
|
= |
|
|||
(1) |
E(1 − α) |
||||
|
Fes |
|
|||
|
e |
|
|
|
|
[17:00] Интегрирование приводит к:
ln Fes(1)(E) = −1 −1 α ln E + C,
где C — постоянная интегрирования. [19:05] Экспоненцируя, получаем:
Fes(1)(E) = C E−1 1α
−
[20:20] Константу C определяем из граничного условия при E = E0:
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
2
[21:00] Отсюда: |
Fes (E0) = C E0 |
− |
|
|
= E0 |
(1 − α) |
(1.8) |
||||||||||||||||||||
|
(1) |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
C = |
|
|
|
|
|
|
|
E01−α |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 − α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
[22:20] Таким образом, плотность замедления на первой ступеньке: |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Fs(1)(E) = |
|
|
|
|
|
|
|
E01−α |
E− |
|
|
|
|
|
(1.10) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1−α |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
− |
α |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
[23:20] Перейдём к литаргии u = ln |
E0 |
|
. Используя соотношение Φ(E)dE = Φ(u)du и |
||||||||||||||||||||||||
E |
|||||||||||||||||||||||||||
|dE/du| = E, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
e− |
α |
(1.11) |
|||||
|
Fs(1)(u) = Fs(1)(E) · E = |
|
|
|
|
|
|
1−α |
u |
||||||||||||||||||
|
1 |
− |
α |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2Асимптотическая область энергии и спектр Ферми
[32:27] Асимптотическая область энергии — это область, где влияние источника уже не ощущается. Обычно она начинается после третьей ступеньки замедления (E < α3E0).
[34:20] В этой области уравнение замедления упрощается:
Fs(as)(E) = ˆ E/α Fs(as)(E′) |
dE′ |
|
(2.1) |
|
E′(1 − α) |
||||
E |
|
|||
[35:20] Предположим решение в виде Fs(as)(E) = C/E. Подстановка в (5.11) подтвер-
ждает это предположение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
= |
C |
ˆ E/α |
dE′ |
= |
C |
(2.2) |
|
|
1 − α |
2 |
|
||||
E |
|
E |
(E′) |
|
E |
|
||
[38:35] Константу C найдём из условия сохранения плотности замедления. В непоглощающей среде плотность замедления одинакова во всём энергетическом пространстве и равна q:
3
q = ˆ E/α Fs(as)(E′) |
E − αE′ |
dE′ |
(2.3) |
|
E′(1 − α) |
||||
E |
|
|
[40:45] Подставляя Fs(as)(E′) = C/E′ и вычисляя интеграл, получаем:
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
q = C 1 + |
|
|
|
ln α |
(2.4) |
|||
|
|
1 − α |
|
|||||
[44:15] Введём обозначение для средней логарифмической потери энергии: |
||||||||
ξ = 1 + |
|
α |
|
ln α |
(2.5) |
|||
|
|
|
||||||
1 |
− α |
|
||||||
[44:20] Тогда плотность замедления в асимптотической области: |
||||||||
Fs(as)(E) = |
|
q |
|
(2.6) |
||||
ξE |
||||||||
|
|
|
|
|||||
Это выражение описывает спектр Ферми — равновесный спектр замедляющихся нейтронов.
[46:20] Функция Плачека описывает поведение плотности замедления в начальных ступеньках замедления. На границах ступенек наблюдаются разрывы:
•При E = αE0 — разрыв самой функции Fs(E),
•При E = α2E0 — разрыв первой производной,
•При E = α3E0 — разрыв второй производной.
В асимптотической области устанавливается гладкий спектр Ферми.
3Замедление нейтронов в смеси ядер
[52:00] Рассмотрим среду, содержащую несколько типов ядер (например, H2O, D2O). Уравнение замедления в асимптотической области:
N |
|
N |
|
|
dE′ |
|
|
|
|
|
Xi |
ˆ |
E/αi |
|
(3.1) |
||
Σsi |
(E)Φ(E) = |
Σsi (E′)Φ(E′) |
|
|
|
|||
|
− |
|
||||||
X |
|
|
E |
E′(1 |
αi) |
|||
i=1 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
4
[56:00] Предположим, что все сечения рассеяния имеют одинаковую энергетическую зависимость: Σis(E) = Σisf(E). Это допущение справедливо в области применимости закона
1/v.
[57:15] Полное макроскопическое сечение рассеяния:
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
(3.2) |
|
|
Σs = |
|
Σsi |
|
|
||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
[58:05] Плотность замедления: |
|
|
|
|
|
|
|
N |
Σsi |
|
ˆ E/αi |
|
dE′ |
|
|
Fs(E) = |
|
Fs(E′) |
(3.3) |
||||
Σs(1 |
− |
|
E′ |
||||
=1 |
αi) E |
|
|
||||
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
[1:02:10] Предполагая Fs(E) = C/E, легко проверить, что это решение удовлетворяет уравнению (5.19).
[1:04:55] Константу C найдём из условия сохранения плотности замедления:
N |
Σsi |
1 + |
|
|
αi |
|
|
ln αi |
= C ξ,¯ |
(3.4) |
||
q = C i=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Σs |
1 |
− |
αi |
|||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
Σsi |
|
|
|
|
|
|||
|
|
ξ = |
Xi |
|
|
|
ξi |
|
|
(3.5) |
||
|
|
|
Σs |
|
|
|||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
—средняя логарифмическая потеря энергии для смеси. [1:08:35] Следовательно,
C = |
q |
, |
F (as)(E) = |
|
q |
(3.6) |
|
¯ |
|||||
¯ |
s |
|
||||
|
ξ |
|
|
ξE |
|
|
4Замедляющая способность и коэффициент замедления
[1:09:30] |
¯ |
Замедляющая способность материала определяется как ξΣs и характеризует |
эффективность замедления.
¯
[1:10:50] Коэффициент замедления — это отношение ξΣs , показывающее баланс
Σa
между замедлением и поглощением. Для хорошего замедлителя это значение должно быть максимально.
5
[1:09:20] Сравнительные характеристики замедляющих материалов:
Таблица 1: Сравнительные характеристики замедляющих материалов
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
Замедлитель |
|
|
|
ξΣs |
||
ξ |
N |
ξΣs |
|
|
|
|
|
Σa |
|||||
|
|
|
|
|
||
H2O |
0.927 |
19.6 |
1.36 |
62 |
||
D2O |
0.510 |
35.7 |
0.18 |
5860 |
||
9Be |
0.207 |
88.0 |
0.15 |
107 |
||
12C |
0.158 |
115.3 |
0.15 |
138 |
||
238U |
0.008 |
2171.6 |
0.0040 |
0.011 |
||
где N — среднее число столкновений для замедления от E1 = 2 МэВ до E2 = 0.025 эВ. Из таблицы видно, что дейтерий (D2O) обладает наилучшими замедляющими свой-
ствами благодаря чрезвычайно малому сечению поглощения.
6