1.3. Расчет на косой изгиб балки с несимметричным профилем сечения

Косой изгиб также возникает в сечениях сложной геометрической формы, не имеющих осей симметрии. Рассмотрим примеры расчета на косой изгиб консольной балки сложного несимметричного профиля под действием различных нагрузок.

Пример 1. На рис. 1.12 показана консольно закрепленная балка, поперечное сечение которой представляет собой равнобокий угол. К концу балки приложена вертикальная сила P, линия действия которой проходит через центр тяжести поперечного сечения балки, так как это показано на рис. 1.12.

Требуется определить положение нулевой линии. Введем центральные оси координат X и Y, проходящие через центр тяжести поперечного сечения (точка С) и параллельные внешним сторонам поперечного сечения балки. В равнобоком угле главные оси V и U проходят через центр тяжести сечения под углом 45^о к осям X и Y (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Балка с поперечным сечением в виде равнобокого уголка

Если сила P приложена по направлению, указанному на рис. 1.12, то в поперечном сечении возникает косой изгиб. Это вызвано тем, что линия действия силы P не совпадает ни с одной из главных осей V или U. Соответственно, в поперечном сечении m-n, расположенном на расстоянии z от конца балки, возникают два изгибающих момента M_V, M_U:

Положение нулевой линии в поперечном сечении определяется по формулам, аналогичным, как для прямоугольного сечения:

где , – моменты инерции сечения равнобокого уголка, значения которых приведены в таблице сортамента прокатной стали по ГОСТ 8509–72 «Сталь прокатная уголковая равнополочная», , – координаты нулевой линии относительно главных осей U и V.

В этом же сортаменте определено расстояние y_C = x_C от крайних граней поперечного сечения уголка до центра тяжести сечения С. Так как, в соответствии с сортаментом ГОСТ 8509–72, = , = , формула (1.18) примет вид:

Уравнение нулевой линии для равнобокого угла, когда , имеет вид:

Так как , то нулевая линия не будет совпадать с осью , а займет другое положение, составив с осью угол β:

Пример 2. Рассмотрим консольную балку длиной l с несимметричным поперечным сечением, ослабленным треугольным отверстием (рис. 1.13). Балка изготовлена из материала Ст. 3. Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q. Линия действия нагрузки проходит вертикально через центр тяжести сечения.

Требуется:

1. Определить положение главных осей и главных моментов инерции.

2. Построить эпюры изгибающих моментов, определив опасное сечение балки.

3. Определить положение нулевой линии.

4. Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки.

5. Определить линейное перемещение свободного конца балки.

Рис. 1.13. Схема нагружения консольной балки (а) и вид поперечного сечения (б)

1. Определение положений главных осей и главных моментов инерции. Прежде всего, вводим систему координат X_*, Y_* с началом в точке B, причем ось X_* совмещена с основанием поперечного сечения, а координата Y_* совпадает с боковой гранью сечения (рис. 1.14).

Определим координаты центра тяжести заданного сечения относительно выбранной системы координат X_* и Y_*. Для этого разбиваем сечение на минимальное количество простейших фигур (рис. 1.14):

1) прямоугольный треугольник ALD с катетами 3a и 3a;

2) квадрат LDEB со сторонами 3a и 3a;

3) сечение треугольного отверстия (внутренний треугольник) с катетами 2a и a.

На рис. 1.14 точками С_i показаны центры тяжести каждой из фигур (i =1,2,3 – номер фигуры) и их центральные оси Y_i и X_i.

Площади F_i и координаты центров тяжести C_i каждой из фигур относительно выбранных осей X_* и Y_* приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1. Площади и координаты центров тяжести фигур относительно осей X_* и Y_*

№ п/п	Фигура	Площадь	Координаты Ц.Т.
			xCi	yCi
1	Верхний треугольник		a	4a
2	Квадрат		1,5a	1,5a
3	Внутренний треугольник		1,333a	1,666a

Рис. 1.14. Схема определения координат центра тяжести сечения

Координаты центра тяжести всего поперечного сечения относительно осей X_* и Y_* определяются по формулам:

где , , F – статические моменты относительно осей X_* и Y_* и площадь поперечного сечения балки.

Статические моменты поперечного сечения определяются по формулам:

а площадь сечения

где , – статические моменты площади i-ой фигуры относительно собственных центральных осей; и – координаты центров тяжести i-ой фигуры относительно осей X_* и Y_*.

Подставим формулы (1.22) и (1.23) в формулы (1.21) и вычислим координаты центра тяжести поперечного сечения (точка С на рис. 1.14):

Теперь можно ввести центральные оси X_C и Y_C поперечного сечения, которые должны проходить через центр тяжести сечения C, как это показано на рис. 1.14.

Для проверки, правильности нахождения координат центра тяжести поперечного сечения, определим статические моменты площади поперечного сечения S_X и S_Y относительно центральных осей Xc и Yc, проходящих через центр тяжести сечения, которые должны быть равны нулю.

Для этого определим координаты x_i и y_i каждой из фигур относительно центральных осей Xc и Yc. Соответствующие вычисления приведены в таблице 1.2.

Таблица 1.2. Вычисление координат центров тяжести центров тяжести фигур, относительно центральных осей Xс и Yс

Координаты центров тяжести
C1	C2	C3
b 1 = xC1–xC = = a–1,333a = –0,333a	b2 = xC2 – xC = = 1,5a –1,333a = 0,167 a	b3 = xC3–xC = = 1,333a–1,333a = 0
a 1 = yC1–yC = = 4a –2,387a =1,613a	a2 = yC2–yC = =1,5 a –2,387a = -0,887 a	a3 = yC3–yC = =1,666a –2,387a =0,721a

С учетом полученных значений координат центров тяжести фигур вычисляем статические моменты площади сечения

Следовательно, оси Хc и Yc являются центральными осями.

Для определения положения главных осей вычислим осевые и центробежный моменты инерции , , относительно центральных осей Xc и Yc по приведенным ниже формулам, учитывая, что центробежный момент инерции прямоугольника, относительно его собственных осей равен нулю (правило для всех симметричных фигур):

где , , - осевые и центробежные моменты инерции простейших фигур относительно собственных осей центральных осей X_i и Y_i.

Найдем положение главных осей. Угол поворота главных осей U и V относительно центральных осей Х и Y, определяется из формулы:

Отсюда следует, что 2α = 29,05 и α = 14,53.

Так как угол α > 0, то угол наклона главной оси U откладываем от центральной оси Х против хода часовой стрелки, как это показано на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Положение главных осей

Определим значения главных осевых моментов инерции заданного сечения и по формулам:

Таким образом:

Центробежный момент инерции

Так как , то оси U и V являются главными осями поперечного сечения балки.

Правильность вычисления главных моментов инерции также проверяется равенством

В нашем случае , что соответствует ранее полученному результату по формуле (1.28).

2. Построение эпюры изгибающих моментов. Разложим действующую нагрузку q по главным осям U и V (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Схема разложения нагрузки на главные оси

Построим эпюры изгибающих моментов от действия каждой проекции нагрузки q_U и q_V (рис. 1.17). При построении эпюр учитываем, что изгибающий момент считается положительным, если в первом квадранте главный осей в опасном сечении балки момент приводит к растягиванию волокна (рис. 1.17).

Рис.1.17. Эпюры изгибающих моментов в проекциях на плоскости U_Z и V_Z

Из полученных результатов следует, что наибольший изгибающий момент находится в заделке балки, где

(1.30)

3. Определение положения нулевой линии. Запишем выражение для нормального напряжения σ при косом изгибе в произвольной точке сечения балки, как сочетание двух прямых изгибов:

где u и v - координаты произвольной точки сечения балки.

Приравнивая напряжение σ нулю, после преобразований, получим уравнение нулевой линии, которое имеет вид:

Подставляя в (1.31) полученные значения максимальных моментов и моментов инерции , , получим

Угол наклона нулевой линии β от главной оси U определяется по формуле

Откуда следует, что угол . Так угол , то угол наклона нулевой линии относительно главной оси U отсчитывается по ходу часовой стрелке (рис. 1.18).

4. Построение эпюры нормальных напряжений в опасном сечении балки. Для построения эпюры нормального напряжения, необходимо на контуре сечения найти две наиболее удаленные точки от нулевой линии. В нашем случаи это точки А и В на рис. 1.18. Значения координат точек А и В в осях U и V определяются по последующим формулам:

где x и y – координата точки А (или В) относительно центральных осей X и Y, α – угол наклона главных осей относительно центральных осей X и Y.

Рис. 1.18. Схема построения эпюры нормальных напряжений.

Подставляя в формулы (1.32) полученные ранее значения координат точки А: x_А=3,613a, y_А = -1,333a и точки В: x_В= -2,387a, y_В = -1,333a, а также значения и , получим координат точек А и В в осях U и V:

Из этих точек проведем прямые линии, параллельные нулевой линии, и затем перпендикуляр к нулевой линии (рис. 1.18). На этом перпендикуляре отложим значения нормальных напряжений в точках А и В, определяемые по формулам:

Линия, соединяющая значения нормальных напряжений в точках А и В представляет собой линейную эпюру нормальных напряжений для любой точки поперечного сечения в балки в заделке (рис. 1.18).

5. Определение перемещений свободного конца балки. По аналогии с определение напряжений будем искать перемещение δ_K свободного конца балки (точка K), используя принцип суперпозиции. Рассмотрим по-отдельности перемещения и точки K от действия проекций нагрузки q_U =qsinα и q_V =q cosα (рис. 1.19). При этом будем учитывать, что действия нагрузок и, соответственно, перемещений противоположно положительным направлениям осей V и U.

Суммарное перемещение точки K от совместного действия двух нагрузок q_U=qsinα и q_V =qcosα получим в результате векторного сложения перемещений и (рис. 1.19):

Знак «минус» учитывает направление перемещений и против направления осей V и U, т.е. – вниз и влево (рис. 1.19).

В результате сложения полное перемещение точки К

Рис. 1.19. Перемещения точки K от действия проекций нагрузки q_U и q_V

Угол наклона вектора перемещений δ_К к главной оси U определяется из формулы:

Сумма двух углов с точностью до третьего знака равна , что соответствует условию косого изгиба.