1.2. Расчет на косой изгиб балки с системой нагрузок, приложенных в различных сечениях и в различных направлениях

К балке в двух ее различных сечениях приложены две перерезывающих силы и два изгибающих момента в соответствии со схемой, представленной на рис. 1.6,а. Балка составлена из двух швеллеров прокатной стали, как это показано на рис. 1.6,б. Между собой оба профиля связаны накладками. Поперечное сечение балки имеет две оси симметрии – оси Х и Y, которые являются и главными центральными осями.

Рис. 1.6. Схема балки, нагруженной системой сил и моментов (а), и вид поперечного сечения

Задано значение силы Р = 2 кН и длина l = 0.5 м. Поперечное сечение составлено из швеллеров № 6,5, изготовленных по ГОСТ 6240-72 с пределом текучести материала σ_т = 200 мПа и модулем упругости Е=2 мПа. Расстояние между швеллерами a = 10 мм

Характерные размеры поперечного сечения балки показаны на рис. 1.7, где h – высота, b – ширина, x₀ – расстояние до центральной оси швеллера X₁, F – площадь поперечного, I_X1, I_Y1 – моменты инерции швеллера относительно собственных центральных осей.

Рис. 1.7. Характерные размеры поперечного сечения

Требуется:

1. Построить эпюру изгибающих моментов.

2. Определить положение нейтральной линии

3. Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении.

4. Вычислить коэффициент запаса по текучести.

5. Определить линейное перемещение точки K на конце консоли (рис. 1.6,а).

Определим моменты инерции поперечного сечения балки относительно главных центральных осей, пренебрегая накладками, связывающих два швеллера в единую балку, по формулам:

,

Так как моменты инерции , то плоскость суммарного изгибающего момента не проходит через ось Х или ось Y. Отсюда следует, что в балке возникает изгиб косой.

1. Построение эпюр изгибающих моментов М_Х и М_Y. Эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Эпюры изгибающих моментов

Наиболее опасным является сечение в заделке балки, где изгибающие моменты M_X = -Pl а M_Y = 2Pl. Отрицательное значение момента M_X связано с тем, что растянутое волокно балки расположено не в первой четверти опасного сечения.

2. Определение положения нулевой линии. Для определения максимальных нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки, необходимо найти положение нулевой линии.

Из уравнения для определения напряжений

при , следует уравнение нулевой линии:

Подставляя в данное уравнение значения главных моментов инерции поперечного сечения и значения максимальных моментов в заделке балки, получим уравнение нулевой линии:

Угол наклона нулевой линии, определяется из выражения

Следовательно, угол наклона нейтральной линии β 72.07^о. Положение нулевой линии показано на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Положение нулевой линии и эпюра нормальных напряжений.

3. Построение эпюры нормальных напряжений в опасном сечении. Наибольшее нормальное напряжение (в заделке) определяем для двух крайних точек поперечного сечения A и B, наиболее удаленных от нулевой линии (рис. 1.9). Эпюру напряжений будем откладывать от перпендикуляра к нулевой линии (рис. 1.9). Максимальные значения нормальных напряжений

где – координаты точки В.

Подставляя в (1.16) численные значения изгибающих моментов и , моментов инерции и и координат точки В, получим

4. Определение коэффициент запаса прочности.Коэффициент запаса прочности балки определяется по заданному пределу текучести материала σ_т = 200 мПа по формуле:

5. Линейное перемещение точки K балки. При определении перемещений при косом изгибе, как и при определении напряжений, используем принцип суперпозиции. Будем определять перемещение точки K конца балки (рис.1.10). Перемещение δ_K, от всей заданной нагрузки, равно геометрической сумме перемещений δ_X и δ_Y от вертикальной и горизонтальной нагрузки, соответственно. Эти перемещения будем определять с помощью метода Верещагина, построив эпюры изгибающих моментов от действующих нагрузок и от единичных сил в проекциях на плоскости YZ и XZ (вертикальная и горизонтальная плоскости, соответственно).

Рис. 1.10. Эпюры изгибающих моментов от действующих нагрузок и от единичных сил в проекциях на вертикальную (а) и горизонтальную (б) плоскости

В соответствии с правилом Верещагина запишем выражения, определяющие прогиб балки в вертикальном и горизонтальном направлении:

Таким образом, свободный конец балки (точка К) будет перемещаться вверх по направлению оси Y и влево против направления оси X (эти направления определяются полученными знаками прогибов и ).

Полное линейное перемещение свободного конца балки определяется геометрической суммой двух векторов δ_Y и δ_X (см. рис. 1.11):

Подставляя в формулу заданные значения Р = 2 кН, l = 0.5 м, Е = 2 мПа, I_X =97.2 , I_Y =62.9 , получим:

Угол наклона линии полного прогиба

Откуда следует, что угол . Знак «минус» говорит, что угол отсчитывается от оси X против хода часовой стрелки. Таким образом, полное перемещение точки K свободного конца балки будет направлено «влево-вверх» (рис.1.11).

Рис.1.11. Полное перемещение точки K конца балки