ВВЕДЕНИЕ

В реальных условиях элементы конструкции часто испытывают не одну какую-либо деформацию (осевое растяжение (сжатие), кручение или прямой изгиб), а несколько. Такие случаи называют сложным сопротивлением (сложной деформацией). Рассматриваемые в настоящем пособии случаи сложного сопротивления бруса внешним нагрузкам можно подразделить на две группы. К первой относятся те из них, при которых в опасных точках бруса напряженное состояние является одноосным. В них при расчетах на прочность теории прочности не используются. К этой группе относятся косой изгиб и внецентренное растяжение (сжатие). В случаях сложного сопротивления, относящегося ко второй группе, в опасных точках бруса имеет место плоское напряженное состояние и расчет на прочность должен выполняться с применением теории прочности. К этой группе относятся общий случай сложного сопротивления.

Изучение сложного сопротивления начнем с простейшего из случаев, а именно, косого изгиба бруса.

1. Косой изгиб

Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей инерции поперечного сечения. На рис. 1.1 показаны примеры возникновения косого изгиба бруса при действии изгибающего момента (рис. 1.1,а) и поперечной силы (рис. 1.1,б, в), направленных под углом к одной из главных осей инерции поперечного сечения, а также при действии двух сил в разных плоскостях (рис. 1.1,д). Таким образом, косой изгиб представляет собой сочетание двух прямых изгибов.

Рис. 1.1. Схемы нагружения бруса при косом изгибе

1.1. Расчёт на косой изгиб балки прямоугольного сечения

Рассмотрим косой изгиб балки прямоугольного поперечного сечения под действием силы P, направление которой не совпадает ни с одной из главных осей X и Y. Расчетная схема для определения внутренних силовых факторов представлена на рис. 1.2, где оси X, Y, Z отсчитываются от свободного конца бруса, причем ось Z совпадает с осью бруса и направлена в сторону заделки, а оси X, Y являются центральными осями поперечного сечения.

Рис. 1.2. Схема нагружения балки прямоугольного сечения силой, направление которой не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения

Для определения внутренних силовых факторов при косом изгибе, прежде всего, необходимо выразить изгибающий момент через проекции сил P на оси X и Y.

В случае приложения поперечной силы P к концу балки (точка K), в сечении m–n, расположенном на расстоянии z от конца балки, будет действовать изгибающий момент M, вектор которого направлен перпендикулярно плоскости m–n. Плоскость действия изгибающего момента будет образовывать, также как и сила P, угол α с осью Y. Разложим внешнюю силу P по направлению главных осей X и Y. Проекции силы P определяются по формулам:

; . (1.1)

На рис. 1.3,а и 1.3,б, соответственно, показаны проекции действующих сил на плоскости YZ и XZ.

Рис. 1.3. Расчетная схема для определения внутренних силовых факторов при косом изгибе

Рассмотрим последовательно действие на брус проекций сил и . В сечении m–n от действия силы возникает изгибающий момент, действующий в плоскости XZ (вокруг оси Y), который можно определить по формуле:

, (1.2)

а от силы будет действовать изгибающий момент в плоскости YZ (вокруг оси X):

(1.3)

Изгибающие моменты и приводят к возникновению в любой точке поперечного сечения бруса нормальных напряжений и , которые определяются по формулам:

где x_i и y_i – координаты точки поперечного сечения, в которой определяются нормальные напряжения, I_X и I_Y – моменты инерции поперечного сечения относительно осей X и Y, соответственно. Применяя принцип суперпозиции, сложим скалярно нормальные напряжения от и .

В результате при косом изгибе нормальные напряжения, для любой точки поперечного сечения стержня, будут определяться суммой слагаемых и , т.е.:

где и – моменты сопротивления поперечного сечения относительно осей X и Y, соответственно.

Формулу (1.5) для определения напряжений в поперечном сечении можно также записать через моменты инерции поперечного сечения относительно главных осей:

, (1.6)

При определении нормальных напряжений необходимо учитывать знаки координат x и y. Так, координаты для точки A (рис. 1.3,б) записываются в виде (+x_A; +y_A), а для точки B – (-x_A; -y_A). Это означает, что в точке A изгибающие моменты и будут вызывать действие растягивающих нормальных напряжений, а в точке B – сжимающих нормальных напряжений. В точках E и D прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.3,б) один из изгибающих моментов будет вызывать действие растягивающих напряжений, а другой – сжимающих напряжений. В частности, в точке E изгибающий момент будет создавать сжимающие напряжения, а – растягивающие. В точке D наоборот, момент - будет создавать сжимающие напряжения, а в точке – растягивающие.

При косом изгибе, как и в случае прямого изгиба в поперечном сечении обязательно будет линия, проходящая через тяжести сечения, в любой точке которой суммарное напряжение будет равно нулю. Эта линия называется нулевой (или нейтральной) линией сечения, но в отличие от случая прямого изгиба, нулевая линия при косом изгибе не будет совпадать ни с одной из главных осей сечения

Положение нулевой линии в сечении может быть определено, если величину суммарных нормальных напряжений приравнять к нулю:

где – координата произвольной точки, принадлежащей нулевой линии.

Для получения уравнения нулевой линии с помощью формул (1.2) и (1.3) выразим значения моментов и :

После очевидных сокращений P и z формула (1.8) примет вид:

Если переписать уравнение (1.9) относительно координаты y₀, то получим уравнение прямой, проходящей через начало координат (центр тяжести сечения), которое называют уравнением нулевой линии:

Из уравнения (1.10) следует формула для определения угла наклона нулевой линии к оси X:

где β – угол наклона.

При > , >α, при < , <α. Следовательно, при косом изгибе нейтральная ось отклоняется к той главной оси, относительно которой момент инерции сечения принимает минимальное значение.

Нулевая линия может быть перпендикулярна плоскости действия изгибающей нагрузки, когда моменты инерции сечения относительно главных осей равны = . Можно показать, что нормальные напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса при косом изгибе, так же как и в случаи прямого изгиба, прямо пропорциональны расстоянию этой точки от нулевой линии. Следовательно, максимальное и минимальное напряжения будут находиться в наиболее удаленных от нулевой линии точках сечения. В рассматриваемом случае = . Эпюра нормальных напряжений, значения которых отложены от прямой перпендикулярной нулевой линии, показаны на (рис. 1.4). Соответственно, точки А и В, являются опасными точками сечения.

Рис. 1.4 Эпюры напряжений в прямоугольном сечении при косом изгибе

Таким образом, определение положения нулевой линии необходимо для поиска опасных точек сечения и последующего расчета на прочность.

Для определения прогиба балки в точке действия силы P (точка K) следует рассмотреть отдельно действие сил P_X и P_Y, являющихся проекциями силы P на оси X и Y, и определить соответственно прогибы δ_X в направление оси X и δ_Y в направление оси Y. Для иллюстрации на рис. 1.5,а и 1.5,б схематично показаны прогибы балки под действием сил P_X и P_Y. В результате задача сводиться к двум задачам о поперечном изгибе.

Рис. 1.5. Расчетная схема для определения прогибов при косом изгибе:

а – пространственная схема; б – плоская схема

В проекциях на горизонтальную и вертикальную плоскости:

При воздействии распределённой нагрузки величины прогибов и определяются по формулам:

Наибольший прогиб стержня при косом изгибе определяется как геометрическая сумма векторов и , т.е.:

Угол наклона суммарного перемещения δ_K к горизонтальной оси определяется по формуле:

Формула (1.15) позволяет сделать вывод о том, что направление суммарного прогиба при косом изгибе перпендикулярно нулевой линии сечения и не совпадает с направлением действующей силы.

Для более сложных расчетных схем необходимо составлять выражения для определения прогибов в зависимости от конкретного положения нагрузки по длине стержня.

Величина прогиба δ может быть определена либо методом начальных параметров с составлением уравнений упругой линии, либо методом интеграла Мора с применением способа Симпсона или Верещагина. Оба метода позволяют определить прогиб δ при приложении сосредоточенной силы P к крайней точке консоли.

Таким образом, если нагрузка представляет собой плоскую систему сил, то ось изогнутого стержня или бруса лежит в плоскости, которая не совпадает с плоскостью действия внешних сил.