Билеты_5_сем

- норма присоединенных ф-ции Лежандра m-ого порядка

Лемма: ф-ция

, непр. на отр.

и обращяющаяся в нуль на его концах при x=1 и x=-1,

Ряд (2) сх-ся к

абсолютно и равномерно на

Приравняем ряд (1) при

,

к ряду (2):

,

при

-произвольно

Аналогично, при

,

откуда, в

силу линейной независимости фун-ии

и

,

Ответ:

где

- полиномы Лежандра.

Шаг 2. Использование краевого условия

.

37. Уравнение теплопроводности в сферических координатах.

(*)

Шаг 1. Вид частных решений и предварительные рассуждения.

Найдем все решения задачи (*), имеющие вид

Подставим это в ур-ие

, получим равенство, которое в дальнейшем поделим на выражение

. Получим

Первая дробь зав-ит только от t, а все остальное выр-ие – только от

Поэтому их разность

может быть нулем т. и т.т., когда

такая, что:

Отсюда получаем ур-ие для

А также рав-во, связыв-ее

и

Выраж-ее в скобках зав-т только от r, а последняя дробь – от

. Это возможно т. и т.т., к.

т., что:

Отсюда получаем ур-ия для

и

:

.

(1*)

Шаг 2. Сферические гармоники

Если решение урав-ия (1*) искать в виде

(3*)

подставим это выражение в (1*),

затем поделим на

. Разделим пер-ые и получим сл. урав-ие:

(2*)

Ур-ие (2*) необх-мо дополнить усл-ем периодичности, т.к.

непр-на

должна быть

непрерывна. Тогда для

получаем задачу:

Общим решением

является ф-ия

Первая ф-ия ни при каких

не удовл. усл. периодичности. Третья ф-ия

удовл. этому улс-ию т. и т.т.,к.

.

!! Т.о. ф-ия (3*) есть решение (1*), т.е. является сфер-й фун-й т. и т.т., к.

(5*)

,а ф-ия

есть реш-е ур-я

(4*)

В (4*) сделаем замену

,тогда для ф-ции

Возьмем I и II произв-ю

подставим в (4*), затем разделим уравнение на

и учтем,

что

и

:

Шаг 3. Решение задачи для

Для ф-ии

мы получили урав-е:

(6*)

Приведем его к виду ур-ия Бесселя с помощью замены переменных

(для замены также

нужны

и

). Упростим полученное выражение, приведем подобные и наконец поделим на r

и учтем, что

. Добавив краевое условие, следующее из

получим:

(7*)

!! Т.о. решениями задачи для

явл-ся

где где

-положит. корни ур-ия

.

Шаг 4. Составление общего решения задачи (*)

Ур-ие для ф-ции Т(t):

Общее решение этого уравнения :

где где

-положит. корни ур-ия

.

производной.

Интегральным преобразованием Фурье ф-ции

наз-ся:

При этом ф-цию

можно восстановить по следующей формуле:

Если

четная ф-ция, то

Свойства преобразования Фурье:

Пусть

– образ Фурье ф-ции

при преобразовании Фурье.

Пусть ф-ия

определена на R и для нее сходится интеграл:

Тогда для функции

существует преобразование Фурье:

При этом ф-ию

можно восстановить по её образу Фурье по следующей формуле:

Если

- четная функция, то

(2.1), так как задача рассматривается на всей прямой

. Получим:

(2.2)

Общее решение однородного линейного уравнения (2.3) имеет вид: