Билеты_5_сем

Опр. Ур-ние

наз-ся ур-нием Бесселя.

Всякое решение ур-ния Бесселя наз-ся цилиндрической ф-цией.

Опр. Ф-ция

наз-ся ф-цией Бесселя порядка v.

Она явл-ся решением ур-ния Бесселя.

Ф-ции Неймана:

.

Их также можно переписать в виде

.

Если из второй формулы вычесть первую, получим еще одно выражение

Для функций Бесселя и Неймана с целочисленным порядком

верно равенство

28. Поведение функций Бесселя и Неймана.

Приведем для примера ф-и

,

Из определения получаем:

=

.

*

.

Заметим, что

Поэтому иногда говорят, что

есть аналог

a

-

аналог

только

– решения ур-ия

, в то время как ф-и

и

– решения ур-ий

Поскольку

, функции

в окрестности нуля ведут себя

следующим образом:

. Известно асимптотическое поведение ф-й

Бесселя при

+

.

),

Теорема:

Усл. Число

а числа

-действительные корни урав-ия

Утв. Фун-ии

и

ортогональны

Усл.Фун-ия

удовлетворяет граничным условиям

и при

фун-ия

Утв.1. Фун-я

разлагается в ряд Фурье на интер-ле (0,1)

Утв. 2. В случае

фун-я

разлагается в ряд Фурье на интер-ле (0,1)

Опр.: Функция

называется функцией Бессиля порядка v. Она является

решением уравнения Бесселя.

Теорема:

Утв. 1: Функция

разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)

Утв. 2: В случае

разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)

При этом функции

называются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля, а числа λ

– собственными числами ЗШЛ.

Оператор левой части уравнения ШЛ мы будем обозначать так:

Теорема:

Утв. 1: Все собственые числа ЗШЛ неотриц. и кратности 1.

Утв. 2: Число λ=0 есть собственное число ЗШЛ тогда и только тогда, когда

, и ему

31. Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [a; b].

Опр. Ур-ие

,

, наз. ур-ием Бесселя. Всякое решение

наз-ся – цилиндрической ф-ией.

Опр. Ф-я

наз-ся ф-ией Бесселя порядка

. Она явл. реш-ем ур-ия

Бесселя. ]

Теор. Усл.

– ортогональная сист. собств-х ф-ий задачи Ш-Л.

Утв.

, удовлетворяющей краевым условиям,

:

, причем

последний ряд сходится к

абсолютно и равномерно на

, а для

верно:

.

Теор. Усл. Ф-я

– есть решение на

ур-ия

.

– полож-е реш-ия ур-ия

.

Утв. 1. Каждая из ф-ий

,

явл-ся решением задачи Ш-Л

При этом ф-я

имеет вид

.

Утв. 2.

.

,

.

Утв. 3.

[ Задача Ш-Л на ур-ия Бесселя на

.

Опр. Через М обознач-ся следующий класс ф-ий:

;

.

Задачей Ш-Л для ур-ия Бесс. на [0,1] наз-ся задача: найти числа

и ф-ии

из условий:

При этом ф-ии

наз-ся собственными ф-ями задачи Ш-Л, а числа

– собств-ми числами задачи

Ш-Л. Оператор левой части ур-ия задачи Ш-Л обознач-ся:

.

Утв. 2. Число

– собств-ое число задачи Ш-Л т.и.т.т., когда

, и ему соответствует

собств-я ф-ия

.

Полиномы Лежандра тесно связаны с фундаментальным решением уравнения Лапласа

, где

–

расстояние точки от фиксированной точки . Пусть и – радиусы векторы точек

и , а

–

угол между ними:

где

и

или

(в обоих случаях меньше единицы).

Производящая ф-ция полиномов:

при m

Норма:

. Применим рекуррентную формулу

дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в

) через

и

, а затем

через

и

Учитывая ортогональность полиномов

Последовательное применение формулы дает

. Подставив сюда

находим квадрат нормы

:

Таким образом: