Билеты_5_сем
.pdf
при этом ряд сходится к |
абсолютно и равномерно на |
при :
при : Ответ:
21. Внутренняя задача Неймана для уравнения Лапласа в круге
|
|
Уравнение Лапласа |
примет вид |
Ищем реш-е методом разд-ия переменных
делим на |
и ум-ем на |
||
|
|
|
|
фун-я U, а след-но и Ф должны быть непрерывными, то
,
есть реш-е ур-ия Лапласа т.и т. , когда -реш-е ур-ия: , при
1)
,
Фун-я ln r неогр. ни внутри круга, ни вне круга, то след-но нужно рассмотреть только случай = 0. Т.к нас интересуют только линейно независимые решения, то = 1 :
2),
Данное ур-ие есть ур-ие Эйлера, поскольку степень множителей r при всех производных фун-й X(r) равна порядку этих производных. Эти ур-ия реш-ся при помощи замены:
не надо расс-ать случай r = − < 0, т.к в задаче r (0, R). При |
, |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.к. |
|
. |
||
Т.к. ур-ие реш. В круге, содерж. Нач. коорд., |
|
|
||||||||||
Сост. Из |
ряд, чтобы найти общее реш. : |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||
|
- усл. Неймана (II-го рода), |
расклад. В ряд Фурье на |
т.к. |
|||||||||
|
|
|
обр-т полную ортогнал. систему фун-й: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
22. Внешняя задача Неймана для уравнения Лапласа в круге.
Найти ограниченную фун-ю u(r, ) из условий:
Шаг 1. Решение уравнения Лапласа вне круга
Пусть ф-ция |
– есть решение этой системы. Тогда |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
– т.к. слева – ф-ция, завис. только от r,а справа – только от ,то они равны |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
титт, когда они – константы |
: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дополняем условием периодичности, т.к. |
, а и |
должна быть непрерывной. |
общее решение: |
|
|
|
|
ф-ция |
не уд. усл. периодичности ни при каких |
(кроме |
), ф-ция |
|
|
уд. усл. периодичности, только при |
, ф-ция |
|
уд. усл. титт, |
когда |
|
|
|
|
ф-ция |
|
|
|
|
|
– физически осмысленытолько огр. решения, а |
- неогр. |
. т.к. нас |
|
интересуют только лин. независ. решения, то можно положить |
|
|
||
при |
- это ур-ние Эйлера; решаем, делая замену: |
|
|
|
общее решение:
т.к. нас интересуют только ограниченные решения, то когда ур-ние решается во внешности круга, содержащего начало координат, и общее решение ур-ния Лапласа вне круга:
Шаг 2. Использование краевого условия
В нашей задаче задано краевое условие II-го рода-условие Неймана:
Оно позволит нам найти коэффициенты |
и |
в формуле (*). |
|
Поскольку функции {1, |
, |
, |
} образуют полную ортог-ую систему фун-ий, то |
фун-ию |
можно разложить в ряд по этой системе-фактически, в тригоном-ий ряд Фурье на |
||||||||
промежутке |
: |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(**) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом ряд (**) сходится к |
абсолютно и равномерно на |
. Приравняем ряд |
|||||||
взятый при r=R к ряду (**):
При k=0 получаем:
этоусловие на фун-ию , а требований на не накладывает, они могут быть любыми. На практике это означает, что задача Неймана имеет бесконечное семейство решений, отличающихся
на константу. |
- произвольны. При |
|
|||
|
|
|
|
|
|
откуда, в силу ЛН фун-ий |
и |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
Ответ:
где коэффициенты и опр-ся из формул (1*) и (2*), а фун-ия |
удовлетворяет условию |
, в противном случае решения в виде подобного ряда не сущ-т.
23. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце.
Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению внутри кольца. Необходимо поставить краевые условия на каждой из границ:
Пусть |
, тогда краевые условия примут вид: |
Запишем уравнение в полярных координатах:
Будем искать решение уравнения в виде:
Уравнение примет вид:
Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:
при
при Общее решение имее вид:
Удовлетворим краевым условиям:
;
;
Итак, получили:
– решение задачи
24. Задача Неймана для уравнения Лапласа в кольце.
Шаг 1. Решение ур-ия Лапласа в полярных координатах.
Сложив решения ур-ия Лапласа в круге и вне круга, мы в точности как задаче Дирихле для ур-ия Лапласа в кольце (билет 23), получ. общ. реш-ие ур-ия Лапласа в полярных координатах:
.
Шаг 2. Использование краевых условий.
В задаче на обеих частях границы задано краевое условие 2-го рода – условие Неймана. Воспользуемся разложением ф-ий в тригоном-ий ряд Фурье на :
,(1)
,(2)
, |
, |
; (3) |
,, (4)
Продифференц-ем по и приравняем ряд
,
взятый при r=a и r=b, к рядам (1) и (2):
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Получаем при |
: |
|
|
|
– это условие на ф-ии |
|
, т.к. для них должно выполняться |
|||||||
|
|
|||||||||||||
рав-во |
, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а на никаких ограничений не накладывает: |
- , |
|
|
|
(5). |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
При остальных k: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
В силу линейной незав-ти ф-ий |
и |
|
, получ. при |
систему из 4-х ур-ий с 4-мя |
|||||||
неизвестными: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
Матрицы обеих систем |
|
|
и |
|
|
|
обратимы, т.к. при |
их определители |
|||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
Найдем |
и |
|
: |
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Тогда из систем (6) получ:
,
,
или |
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
, где - |
, коэф-ты |
, |
и |
опр-ся из ф-л (5) и (7), а |
и |
из (3) и (4), при этом необходимо, чтобы |
ф-ии |
удовлетворяли условию |
|
(в противном случае реш-ия в |
||
виде подобного ряда не |
). |
|
|
||