Билеты_5_сем
.pdf
14. Схема метода Фурье для неоднородного уравнения колебаний струны.
Ищем решение в виде суммы двух функций
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти решения |
|
|
|
|
не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. |
|
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
представимо в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где X(x) – функция только переменного x, T(t) – функция только переменного t. Подставляя |
|
|
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение и производя деление обеих частей равенства на |
получаем |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
, т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Г.у. дают |
|
|
|
|
|
|
|
|
Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из г. у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем искать решение основной задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что
явл. частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполн. ну. Получим
т.е. являются коэф. Фурье на интервале (0,l)
Решение задачи будет искать в виде ряда Фурье по собственным ф-м предыдущей задачи
Для нахождения функции представим функцию f(x,t) в виде ряда
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение
Это уравнение будет удовлетворено, если все коэффициенты будут равны нулю т.е.
Ответ:
15. Схема метода Фурье в случае неоднородных краевых условий. Общий приём по сведению задачи с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными краевыми условиями
Введём новую функцию
Представляющее отклонение от некоторой известной функции U(x,t).
Эта функция |
будет определяться как решение уравнения |
С дополнительными условиями
Выберем вспомогательную функцию U(x,t) так, чтобы |
и |
Для чего достаточно положить
Замечание 1.1. В случае любых краевых условий, кроме условий II-го рода на обоих концах, можно подобрать функцию так, чтобы для функции
выполнялись однородные краевые условия того же вида. Отдельный случай представляют собой условия II-го рода на обоих концах. В этом случае функцию w в виде
найти можно не всегда, но всегда её можно найти в
виде
Таким образом нахождение функции |
сводится к нахождению функции |
дающей |
решение краевой задачи с нулевыми граничными условиями |
|
|
Решение этой задачи вопрос 12 за исключением того, что отсутствует нулевой член ЗШЛ и
16. Схема метода Фурье в случае неоднородных краевых условий. Общий приём по сведению задачи с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными краевыми условиями
Введём новую функцию
Представляющее отклонение от некоторой известной функции U(x,t).
Эта функция |
будет определяться как решение уравнения |
С дополнительными |
условиями |
|
|
Выберем вспомогательную функцию U(x,t) так, чтобы |
и |
Для чего достаточно положить
Замечание 1.1. В случае любых краевых условий, кроме условий II-го рода на обоих концах, можно подобрать функцию так, чтобы для функции
выполнялись однородные краевые условия того же вида. Отдельный случай представляют собой условия II-го рода на обоих концах. В этом случае функцию w в виде
найти можно не всегда, но всегда её можно найти в
виде
Таким образом нахождение функции |
сводится к нахождению функции |
дающей |
решение краевой задачи с нулевыми граничными условиями |
|
|
17. Схема метода Фурье в случае неоднородных краевых условий. Общий приём по сведению задачи с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными краевыми условиями
Введём новую функцию
Представляющее отклонение от некоторой известной функции U(x,t).
Эта функция |
будет определяться как решение уравнения |
С дополнительными |
условиями |
|
|
Выберем вспомогательную функцию U(x,t) так, чтобы |
и |
Для чего достаточно положить
Замечание 1.1. В случае любых краевых условий, кроме условий II-го рода на обоих концах, можно подобрать функцию так, чтобы для функции
выполнялись однородные краевые условия того же вида. Отдельный случай представляют собой условия II-го рода на обоих концах. В этом случае функцию w в виде
найти можно не всегда, но всегда её можно найти в
виде
Таким образом нахождение функции |
сводится к нахождению функции |
дающей |
решение краевой задачи с нулевыми граничными условиями |
|
|
18. Схема метода Фурье в случае неоднородных краевых условий. Общий приём по сведению задачи с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными краевыми условиями
Введём новую функцию
Представляющее отклонение от некоторой известной функции U(x,t).
Эта функция |
будет определяться как решение уравнения |
С дополнительными условиями
Выберем вспомогательную функцию U(x,t) так, чтобы |
и |
Замечание 1.1. В случае любых краевых условий, кроме условий II-го рода на обоих концах, можно подобрать функцию так, чтобы для функции
выполнялись однородные краевые условия того же вида. Отдельный случай представляют собой условия II-го рода на обоих концах. В этом случае функцию w в виде
найти можно не всегда, но всегда её можно найти в
виде
Функцию |
ищем в виде |
чтобы она удовлетворяла |
краевым условиям. Вид искомой ф-ии на краях |
|
|
Из первого краевого условия.
Из второго краевого условия с учетом
Таким образом нахождение функции |
сводится к нахождению функции |
дающей |
решение краевой задачи с нулевыми граничными условиями |
|
|
19. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге
Пусть ф-ция |
– есть решение этой системы. Тогда |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
– т.к. слева – ф-ия, завис. только от r,а справа – только от ,то они равны |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
т.т.т., когда они – константы |
: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дополняем условием периодичности, т.к. |
, а и |
должна быть непрерывной. |
общее решение: |
|
|
|
|
ф-ция |
не уд. усл. периодичности ни при каких |
(кроме |
), ф-ция |
|
|
уд. усл. периодичности, только при |
, ф-ция |
|
уд. усл. титт, |
когда |
|
|
|
|
ф-ция |
|
|
|
|
|
– физически осмыслены только огр. решения, а |
- неогр. |
. т.к. нас |
|
интересуют только лин. независ. решения, то можно положить |
|
|
||
при |
- это ур-ние Эйлера; решаем, делая замену: |
|
|
|
общее решение:
т.к. нас интересуют только ограниченные решения, то когда ур-ние решается в круге, содержащем начало координат B = 0 и
Общее решение уравнения Лапласа в круге:
Используем краевое условие |
|
(для нахождения |
): |
|
||
поскольку ф-ции |
|
обр. полную ортогон. систему ф-ций, то |
можно |
|||
разложить в ряд по этой системе – фактически, в тригонометр. ряд Фурье – на |
: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при этом ряд сходится к |
абсолютно и равномерно на |
. Приравняем ряд (1), взятый |
|
при |
к ряду (2) |
|
|
Получаем при k=0: |
|
|
откуда |
|
, – произвольно. |
|||||||
|
|
|
||||||||||
При k=N: |
|
|
|
|
), откуда в силу ЛНЗ функц. |
|||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге
Пусть ф-ция |
– есть решение этой системы. Тогда |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
– т.к. слева – ф-ция, завис. только от r,а справа – только от ,то они равны |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
титт, когда они – константы |
: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дополняем условием периодичности, т.к. |
, а и |
должна быть непрерывной. |
общее решение: |
|
|
|
|
ф-ция |
не уд. усл. периодичности ни при каких |
(кроме |
), ф-ция |
|
|
уд. усл. периодичности, только при |
, ф-ция |
|
уд. усл. титт, |
когда |
|
|
|
|
ф-ция |
|
|
|
|
|
– физически осмысленытолько огр. решения, а |
- неогр. |
. т.к. нас |
|
интересуют только лин. независ. решения, то можно положить |
|
|
||
при |
- это ур-ние Эйлера; решаем, делая замену: |
|
|
|
общее решение:
т.к. нас интересуют только ограниченные решения, то когда ур-ние решается во внешности круга, содержащего начало координат, и общее решение ур-ния Лапласа вне круга:
использование краевого условия |
|
(для нахождения |
): |
|
поскольку ф-ции |
|
обр. полную ортогон. систему ф-ций, то |
можно |
|
разложить в ряд по этой системе – фактически, в тригонометр. ряд Фурье – на |
: |
|||
|
|
|
|
|