Билеты_5_сем
.pdf
10. Общая схема метода Фурье на примере одномерного уравнения колебаний струны с классическими краевыми условиями
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти решения |
|
|
|
|
не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. |
|
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||
представимо в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где X(x) – функция только переменного x, T(t) – функция только переменного t. Подставляя |
|
|
в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение и производя деление обеих частей равенства на |
получаем |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
, т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Г.у. дают |
|
|
|
|
|
|
|
|
Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из г. у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что
явл. частными решениями
уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполн. ну. Получим
т.е. являются коэф. Фурье на интервале (0,l)
11. Общая схема метода Фурье на примере одномерного уравнения колебаний струны с классическими краевыми условиями
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу. Найти решения не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. и представимо в виде:
где X(x) – функция только переменного x, T(t) – функция только переменного t. Подставляя |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение и производя деление обеих частей равенства на |
получаем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
, т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Г.у. дают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из г. у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что
явл. частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполн. ну. Получим
т.е. |
являются коэф. Фурье на интервале (0,l) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Схема метода Фурье для неоднородного уравнения теплопроводности.
Ищем решение в виде суммы двух функций
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти решения |
|
|
|
|
не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
представимо в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где X(x) – функция только переменного x, T(t) – функция только переменного t. Подставляя |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение и производя деление обеих частей равенства на |
получаем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
, т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Г.у. дают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из г. у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем искать решение основной задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям
Этим же значениям соотв. решения уравн. |
|
|
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что |
|
явл. |
|
||
частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи. |
|
|
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполню ну. Получим
т.е. являются коэф. Фурье ф-ии. |
|
при разложении её по синусам на интервале (0,l) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи будет искать в виде ряда Фурье по собственным ф-м предыдущей задачи
Для нахождения функции представим функцию f(x,t) в виде ряда
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение
Это уравнение будет удовлетворено, если все коэффициенты будут равны нулю т.е.
Ответ:
13. Схема метода Фурье для неоднородного уравнения колебаний струны.
Ищем решение в виде суммы двух функций
|
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти решения |
|
|
|
|
не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
представимо в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где X(x) – функция только переменного x, T(t) – функция только переменного t. Подставляя |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение и производя деление обеих частей равенства на |
получаем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
, т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Г.у. дают |
|
|
|
|
Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из г. у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем искать решение основной задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что
явл. частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполн. ну. Получим
т.е. являются коэф. Фурье на интервале (0,l)
Решение задачи будет искать в виде ряда Фурье по собственным ф-м предыдущей задачи
Для нахождения функции представим функцию f(x,t) в виде ряда
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение
Это уравнение будет удовлетворено, если все коэффициенты будут равны нулю т.е.
Ответ:
+