Билеты_5_сем

Для малых колебаний:

Отсюда, в силу з-на Гука, следует, что струна со временем не

растягивается, а следовательно

.

Т.к мы рассматриваем только поперечные колебания, то нас интересует

только проекция вектора натяжения на ось U. Обозначим ее через .

х при

, где - угол касательной к кривой

с осью

фиксированном t.

Количество движения участка

в момент времени t равно:

, где ρ-лин

плотность струны.

Пусть

- плотность равнодействующих внешних сил, действующих на струну в направлении

оси U.

По 2 з-ну Ньютона изменение кол-ва движения на участке

за время

равно

импульсу действующих сил(в данном случае

) и внешних сил (

).

(1)

Это и есть уравнение малых поперечных колебаний струны между точками

и

в интегральной

форме.

Если

имеет непрерывные произв 2 пор, а T(x) – непрерывную произв 1-ого пор, то, применяя

теор Лагранжа о приращении ф-ции и теор о среднем для интегралов в ур-нии (1), получим

.

(2)

, где

,

Разделив обе части рав-ва (2) на

и перейдя к пределу при

и

получим

дифференциальное ур-ние малых поперечных колебаний струны:

(3)

В случае, когда T=const и ρ=const, ур-ние обычно пишут в виде:

(4), где

,

.

Подсчитаем относительное удлинение участка

в момент времени t. Координаты концов

этого участка равны

. Относительное удлинение участка равно

,

Т.е относительное удлинение в точке х в момент времени t равно

, а величина натяжения, по

з-ну Гука равна

.

Пусть

- плотность равнодействующих внешних сил, действующих на сечение с абсциссой х

вдоль оси х. применяя 2 з-н Ньютона к участку стержня

за время

, получаем:

Это и есть уравнение малых продольных колебаний участка стержня

в интегральной форме.

Если

имеет непрерывные произв 2 пор, а

и

– непрерывную произв 1-ого пор, то

дифференциальное уравнение малых продольных колебаний стержня:

Если

,

и

постоянны, то, предполагая существование

предыдущие ур-ние

приводится к виду:

, где

,

Это ур-ние так же гиперболического типа.

линейное распределение температуры:

(1).

кол-во тепла, протекающее через сечение стержня площади S за ед времени, дается

экспериментальной ф-лой:

(2) , где k-коэффициент теплопроводности.

1. По з-ну Фурье кол-во тепла, протекающее через сечение х за промежуток времени

,

равно:

(3) , где

(4) – плотность теплового потока, равная кол-ву тепла,

протекающего в ед времени через площадь в 1

. Этот з-н представляет обобщение ф-лы 2,

которой можно придать интегральную форму:

(5), где Q – кол-во тепла,

протекающее за промежуток времени

через сечение х. если стержень неоднороден, то k

зависит от х.

на , равно:

(6), где с - удельная теплоемкость, m – масса тела, ρ – плотность,

V – объем.

Если изменение температуры имеет различную вел-ну на разных участках стержня или стержень

неоднороден, то:

(7)

3. Внутри стержня может возникать или поглощаться тепло. Напр есть тепловой источник (хим

реакция, воля божья и т.д), то в рез-те действия этих источников на участке стержня

за

промежуток времени

выделится кол-во тепла:

(8) или в инт форме:

(9)

Применяя ЗСЭ и исп ф-лы 5,7,9 получим ур-ние теплопроводности в интегральном виде:

(10)

чтобы получить ур-ние теплопроводности в диф виде, предп, что ф-ция

непрер произв

и

.

Пользуясь теоремой о среднем получим:

(11)

ур-ние 11 можно преобразовать, используя теор о конечных приращениях:

(12), где

и

-

промежуточные точки интервалов

и

.

Из 12, после сокращения на

получим:

(13)

Переходы к пределу при

и

получим уравнение теплопроводности:

, где

,

.

– коэффициент температуропроводности.

Если отсутствуют источники, т.е

, то ур-ние примет вид:

4. Вывод уравнения диффузии

Рассмотрим процесс диффузии в полой трубке или в трубке, заполненной пористой средой,

предполагая, что в любой момент времени концентрация газа (раствора) по сечению трубки

одинакова.

тогда процесс диффузии может быть описан ф-цией

, представляющей концентрацию в

сечении х в момент времени t.

Согласно з-ну Нернеста масса газа, протекающая через сечение х за промежуток времени

,

равна:

,

(16), где D-коэффициент диффузии, S – площадь

сечения трубки,

W(x,t) – плотность диффузионного потока, равная массе газа, протекающей в ед времени через ед

площади.

По определению концентрации, кол-во газа в объеме V равно:

, отсюда получаем, что

изменение массы газа на участке трубки

при изменении концентрации на

равно:

Составим ур-ние баланса массы газа на участке

за время

:

.

, заменяя

его значением из 2-ого ур-ния получим:

аналогично выглядит ур-ние для напряжения

эти 2

ур-ния наз-ся телеграфными

если потерями можно пренебречь, а сопротивление очень мало (

), то мы получим

известное ур-ние:

(

)

Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу.

Найти решения

не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у.

и

представимо в виде:

где X(x) – функция только переменного x, T(t) – функция только переменного t. Подставляя

в

уравнение и производя деление обеих частей равенства на

получаем

где

, т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x

Г.у. дают

Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)

- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ

1.

из г. у.

2.

3.

Этим же значениям соотв. решения уравн.

Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что

явл.

частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.

т.е. являются коэф. Фурье ф-ии.

при разложении её по синусам на интервале (0,l)

Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу.

Найти решения

не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у.

и

представимо в виде:

где X(x) – функция только переменного x, T(t) – функция только переменного t. Подставляя

в

уравнение и производя деление обеих частей равенства на

получаем

где

, т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x

Г.у. дают

Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)

- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ

1.

из г. у.

2.

3.

Этим же значениям соотв. решения уравн.

Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что

явл.

частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.

т.е. являются коэф. Фурье ф-ии.

при разложении её по синусам на интервале (0,l)

Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу.

Найти решения

не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у.

и представимо в виде:

где X(x) – функция только переменного x, T(t) – функция только переменного t. Подставляя

в

уравнение и производя деление обеих частей равенства на

получаем

где

, т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x

Г.у. дают

Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)

- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ

1.

—

из г. у.

—

—

—

2.

3.

пусть

Этим же значениям соотв. решения уравн.

Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что

явл.

частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.

т.е. являются коэф. Фурье ф-ии.

при разложении её по косинусам на интервале (0,l)

Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу.

Найти решения

не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у.

и

представимо в виде:

где X(x) – функция только переменного x, T(t) – функция только переменного t. Подставляя

в

уравнение и производя деление обеих частей равенства на

получаем

где

, т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x

Г.у. дают

Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)

- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ

1.

из г. у.

2.

3.