1 Раздел

1. Что такое ЛЯМБДА (Лекция стр. 88-90 общ.файл, Л 5 стр 7-9)

lamda < 0 приводит к отрицательным собственным значениям и это быть не может. Т.к. все собств.значения задачи Ш-Л являются неотрицательными числами (Лемма 1 стр. 125 общ.файл)

2. Как находим Аn или Bn или Cn? домножаем на собств функцию с фиксированным номером m. Почему m, а не n? Потому что во первых n это счетчик, m число. И если домножить вне суммы на Хn то получится что мы непойми что умножаем на непойми что, в результате получится непойми что. (Иными словами операция невозможна) продолжаем находить Аn: получаем скалярное произведение, интегрируем, можем вынести знак суммы за интеграл, далее пользуясь свойством ортогональности (стр. 131 общ файл)собственной функции задачи штурма-лиувилля : hi выражаем наше Аm экей Cm ….!! потом мы вправе заменить m на n, тк больше нет знака суммы

3. Почему квадрат нормы не ноль??

В лекциях он пишет, что квадрат нормы от собственной функции задачи ШЛ не равен нулю, равенство нулю ведёт к тривиальному решению. А собственные функции по определению ненулевые.

4. Условие для ф-ций класса А

все функции, удовлетворяющие однородным граничным условиям этой задачи, плюс еще достаточно гладкие Именно однородные граничные условия задачи Штурма — Лиувилля и надо проверять в первую очередь, если вы хотите узнать — функция принадлежит к классу A или нет.

Из лекции пояснение к картинке: требуем непрерывность первых производных функции всюду на поверхности S, чтобы граничное условие имело смысл в каждой точке поверхности S (Запись f(M) принадлежит С1(D), D с верхним подчеркиванием).Другое требование добавляет лишь непрерывную дифференцируемость на поверхности S. Коэффициенты граничного условия a и b должны быть всего лишь кусочно-непрерывными на поверхности S, т.е. разрывы у этих функций допустимы.

2 Раздел

5. Какой будет задача Ш-Л если уравнение неоднородное?! Она будет такой же как и для однородного уравнения Почему??? (Как мы ставим ЗШЛ для задачи с неоднородностью) И как тогда решить задачу Ш-Л? Решаем так же как и для однородного уравнения

6. Зачем сводим к однородным граничным условиям?

Чтобы можно было поставить задачу шл (не проверенный ответ)

Потому что мы можем решать задачу только с однородными граничными условиями, произвольными начальными и с произвольной неоднородностью в уравнении. и чтобы решить с неоднородными граничными условиями достаточно решить с однородными и подобрать функцию удовлетворяющую произвольным граничным условиям

Если граничные условия неоднородные, то сама u(x,t) не будет функцией класса А, тогда вообще применять метод Фурье нельзя (Теорема Стеклова не сработает).

функция класса А - это функции

из области определения оператора L. То есть под областью опреде-

ления оператора задачи Штурма Лиувилля понимаются все функ-

ции, удовлетворяющие граничным условиям этой задачи, плюс еще

достаточно гладкие (чтобы к ним этот самый оператор можно было

применять).

7. Почему домножаем на r^2 ?

r^2 — весовая функция (для сферических координат, для цилиндрических весом будет r). Весовая функция нужна для того, чтобы записать скалярное произведение (поиск квадрата нормы и коэффициентов). Если про нее забыть, интеграл может вообще не браться.

8. Как обосновать Tn(0)=0 и Tn'(0)=0?

Точно также как и с коэффициентами An, Bn.

Для Tn(0): подставляем t=0 в u(x,t) = sum(Xn(x)Tn(t)). Скалярно домножаем на Xm, пользуемся свойством ортогональности СФ ЗШ-Л, дельта символ убивает знак суммы, остается только одно слагаемое, делим на квадрат нормы и получаем Tn(0).

Для Tn’(0): сначала берем производную по t тут: u(x,t) = sum(Xn(x)Tn(t)) подставляем t=0 получившиеся выражение. Скалярно домножаем на Xm, пользуемся свойством ортогональности СФ ЗШ-Л, дельта символ убивает знак суммы, остается только одно слагаемое, получаем Tn’(0).

9. Почему в задачах с кольцами, шарами и сферами (там где есть r), если нужно избавиться от неоднородности граничных условий, используем квадратичную замену (u(x,t) = v(x,t)+a*r^2), а не линейную?

Потому что в случае линейной замены после подстановки в уравнение получим в знаменателе r, а это очень неприятно, поэтому используем квадратичную замену чтобы все было красиво.

Функция Грина

1. Физический смысл функции Грина?

функция Грина — это распределение температуры, обусловленное точечным источником в начальных данных.

2. Мощность точечного источника?

Мощность источника равна cρS, или же если ρ - линейная плотность, то попросту cρ.

3. Почему между экспонентами знак минус? (Объяснение исходя из физ.смысла)

“Функция Грина — это температура, граничное же условие означает равенство нулю температуры в точке x = 0 при всех t > 0. Но в точке x = ξ имеется источник тепла. Как добиться равенства нулю температуры в точке x = 0 при наличии источника? А просто надо добавить сток тепла той же мощности в симметричную относительно x = 0 точку (т.е. в точку x = −ξ)”