Основные свойства d(X):
D(C)=0 (константа не разбрасывается, она всегда одно число).
D(CX)=C2⋅D(X) (константа выносится в квадрате!).
D(X+Y)=D(X)+D(Y) — только для независимых случайных величин.
D(X)≥0.
12) Примеры дискретных распределений: биномиальное, Пуассона.
13) Примеры абсолютно-непрерывных распределений: равномерное, показательное.
14) Нормальное распределение. Функция Лапласа и её свойства.
15) Случайный вектор. Функция распределения. Её свойства.
16) Дискретный случайный вектор. Математическое ожидание, ковариационная матрица.
17) Абсолютно-непрерывный случайный вектор. Математическое ожидание, ковариационная матрица.
18) Ковариация, коэффициент корреляции 2-х случайных величин. Свойства коэффициента корреляции.
19) Понятие независимости случайных величин.
Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая.
Универсальное определение (через F(x,y)):
Случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда их совместная функция распределения равна произведению маргинальных функций распределения
Независимость — это сильное свойство. Из него следует некоррелированность (cov=0), но из некоррелированности независимость в общем случае не следует (связь может быть не линейной, а более сложной).
20) Свойства математического ожидания.
Основные свойства M[X]
1. Математическое ожидание константы
Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой константе.
M[C]=C
Логика: Если величина всегда принимает одно и то же значение C, то и её среднее значение равно C.
2. Вынос константы за знак ожидания
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.
M[CX]=C⋅M[X]
3. Математическое ожидание суммы
Математическое ожидание суммы двух (и более) случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
M[X+Y]=M[X]+M[Y]
Важно: Это свойство выполняется для любых случайных величин (как зависимых, так и независимых).
4. Математическое ожидание произведения
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
M[XY]=M[X]⋅M[Y]
Предупреждение: Если величины зависимы, это равенство в общем случае неверно (там добавляется ковариация).
5. Линейность математического ожидания
Это свойство объединяет пункты 2 и 3. Математическое ожидание линейной комбинации величин равно той же линейной комбинации их ожиданий:
M[aX+bY+c]=aM[X]+bM[Y]+c
Доказательства свойств (для дискретных СВ)
На экзамене часто просят доказать хотя бы одно из этих свойств. Проще всего это делать для дискретных величин.
Доказательство свойства M[CX]=C⋅M[X]
Пусть X принимает значения xi с вероятностями pi. Тогда величина CX принимает значения Cxi с теми же вероятностями pi.
По определению: M[CX]=∑(Cxi⋅pi).
Выносим C за знак суммы: M[CX]=C⋅∑(xipi).
Заметим, что ∑xipi — это и есть M[X].
Итог: M[CX]=C⋅M[X]. ЧТД.
Доказательство свойства M[X+Y]=M[X]+M[Y]
Пусть pij=P(X=xi,Y=yj).
M[X+Y]=∑i∑j(xi+yj)pij
Раскрываем скобки: ∑i∑jxipij+∑i∑jyjpij
В первой сумме вынесем xi: ∑ixi(∑jpij). Сумма ∑jpij — это вероятность P(X=xi).
Получаем: ∑ixiP(X=xi)+∑jyjP(Y=yj)=M[X]+M[Y]. ЧТД.
Дополнительные свойства
Мат. ожидание отклонения: Математическое ожидание отклонения случайной величины от её мат. ожидания всегда равно нулю:
M[X−M[X]]=0
Это свойство часто используется при выводе формул дисперсии.
Аддитивность для n слагаемых: M[∑Xi]=∑M[Xi].
21) Свойства дисперсии.
22) Многомерное нормальное распределение.
24) Распределение "Хи-квадрат", Стьюдента.
24) Неравенство Чебышёва.
Теорема.
Для любой случайной
величины 
,имеющей
конечную дисперсию 
,
и произвольного положительного
числа
выполняется
неравенство
, (1)
которое называется первым неравенством Чебышева
Следствие. Для любой случайной величины имеющей конечную дисперсию , и произвольного положительного числа выполняется неравенство
, (5)
которое называется вторым неравенством Чебышева.
Отметим, что неравенства Чебышева выполняются при любом законе распределения случайной величины лишь при условии, что дисперсия конечна.