1) Основные понятия теории вероятностей. Классическая вероятностная модель.
Математическая
модель
Детерменистская Стохастическая
Теория вероятности – наука о закономерностях случайных явлений.
Основные понятия:
1) Случайный эксперимент.
Свойства:
1) На результат эксперимента действует множество случайных факторов, которые невозможно учесть.
2) Можно повторить бесконечное количество раз.
3) Устойчивость результата
n – опытов
mA – количество с результатом A
Ǝ
(A)
– статистическая вероятность события
A.
2) Пространство элементарных исходов случайного эксперимента.
Ω - множество всех возможных исходов эксперимента.
3) Элементарный исход.
ω - один из взаимоисключающих результатов опыта.
Пример:
1) Бросаем кубик 1 раз.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ωi = i, i = 1 … 6.
2) Бросаем кубик 2 раза или одновременно бросаем две игральные кости.
4) Случайное событие.
A, B, C.
Может произойти или нет в результате случайного эксперимента.
A ⊂ Ω
Событие A = Ø – невозможное, если не может произойти в результате испытания.
A = Ω – достоверное, если происходит всегда в результате экперимента.
Классическая вероятностная модель
Это простейшая модель, которая применяется, когда количество исходов конечно, а все они равновозможны.
P(A) = n/m
Свойства классической вероятности:
1) Ограниченность: Вероятность любого события лежит в диапазоне от 0 до 1.
2) Вероятность достоверного события: P(Ω)=1.
3) Вероятность невозможного события: P(∅)=0.
4) Вероятность противоположного события (Aˉ): P(Aˉ)=1−P(A)
2) Аксиоматика Колмогорова. Вероятностное пространство.
3) Случайные события. Операции над событиями. Теорема сложения.
Случайное событие — это любой подмножество пространства элементарных исходов Ω.
Важные виды отношений между событиями:
Равносильные (A=B): если всегда, когда происходит A, происходит B, и наоборот.
Событие A влечет событие B (A⊂B): если из наступления A неизбежно следует наступление B.
Противоположное событие (Aˉ): событие, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит A.
Доказательство теоремы сложения:
Представим событие A∪B как объединение трех несовместных событий:
A∖B (произошло только A);
B∖A (произошло только B);
A∩B (произошли оба одновременно).
Тогда по аксиоме аддитивности:
P(A∪B)=P(A∖B)+P(B∖A)+P(A∩B)(1)
Теперь выразим P(A) через его части. Событие A состоит из тех, что «только в A» и тех, что «в A и Bодновременно»:
P(A)=P(A∖B)+P(A∩B)⟹P(A∖B)=P(A)−P(A∩B)
Аналогично для B:
P(B)=P(B∖A)+P(A∩B)⟹P(B∖A)=P(B)−P(A∩B)
Подставим выражения из пунктов 2 и 3 в формулу (1):
P(A∪B)=[P(A)−P(A∩B)]+[P(B)−P(A∩B)]+P(A∩B)
После сокращения одного P(A∩B) получаем:
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
4) Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Независимые события.
5) Попарная независимость событий и независимость в совокупности. Пример Бернштейна.
Пример С. Н. Бернштейна
Сергей Натанович Бернштейн придумал остроумный пример, где события независимы попарно, но зависимы все вместе.
Суть примера:
Представь правильный тетраэдр (пирамиду), грани которого раскрашены следующим образом:
1-я грань: Синий цвет (S)
2-я грань: Красный цвет (K)
3-я грань: Зеленый цвет (Z)
4-я грань: Все три цвета сразу (S,K,Z)
Мы подбрасываем тетраэдр и смотрим на цвет грани, на которую он упал. Рассмотрим события:
A — на грани есть синий цвет.
B — на грани есть красный цвет.
C — на грани есть зеленый цвет.
Проверка вероятностей:
Индивидуальные вероятности: На каждой из 4 граней нужный цвет встречается дважды (на своей «чистой» грани и на 4-й комбинированной).
P(A)=42=21;P(B)=21;P(C)=21
Попарная независимость: Синий и красный цвета одновременно есть только на одной грани (на 4-й).
P(AB)=41
Проверяем условие: P(A)⋅P(B)=21⋅21=41. Условие P(AB)=P(A)P(B) выполняется. Аналогично для пар (A,C) и (B,C). События попарно независимы.
Независимость в совокупности: Все три цвета одновременно есть только на 4-й грани.
P(ABC)=41
Проверяем условие: P(A)⋅P(B)⋅P(C)=21⋅21⋅21=81. 1/4=1/8! Условие не выполняется.
Вывод:
Зная, что произошли события A и B (мы видим синий и красный цвета), мы точно знаем, что произошло и событие C (зеленый цвет тоже там будет, так как это может быть только 4-я грань). Значит, события зависимы «в группе»
6) Формула полной вероятности. Формула Байеса
7) Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
8) Случайные величины. Функция распределения. Её свойства.
9) Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Функция распределения.
10) Абсолютно-непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей. Её свойства. Связь с функцией распределения.
11) Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Основные свойства M(X):
M(C)=C (мат. ожидание константы равно самой константе).
M(CX)=C⋅M(X) (константу можно выносить за знак ожидания).
M(X+Y)=M(X)+M(Y) (мат. ожидание суммы равно сумме ожиданий).
M(XY)=M(X)⋅M(Y) — только для независимых случайных величин.
