Министерство цифрового развития, Связи и Массовых Коммуникаций

Ордена Трудового Красного Знамени федерального государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики» (МТУСИ)

Лабораторная работа №1.8

«Изучение собственных колебаний струны»

Вариант 7

Проверил: к.т.н., доцент кафедры «Физика»

Тимошина Маргарита Игоревна

Москва 2023 г.

Цель работы

• Изучение колебаний в системах с распределенными параметрами на примере поперечных стоячих волн в упругой горизонтальной струне.

• Наблюдение картины распределения амплитуд колебаний точек струны при образовании стоячих волн.

• Количественная проверка формулы скорости распространения колебаний вдоль струны.

Краткая теория

Стоячие волны – это особый случай интерференции, возникающий при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами:

, (1)

Сложив эти уравнения и учитывая, что , получим уравнение стоячей волны:

(2)

Из уравнения стоячей воды следует, что в каждой точке этой волны происходят колебания с одной и той же частотой и амплитудой , зависящей от координаты x рассматриваемой точки.

В точках среды, где (m = 0,1,2...), амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где , амплитуда колебаний обращается в нуль.

Точки, в которых амплитуда максимальна, называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами стоячей воды.

В гибкой однородной струне, натянутой между двумя точками и выведенной из положения равновесия, могут установиться стоячие волны. При этом на длине струны L всегда должно укладываться целое число стоячий волн. При этом струна делится неподвижными точками – узлами – на несколько равных отрезкой, длина которых равна половине длины бегущей волны. Следовательно, можно записать:

, (3)

где n – целое число, определяющее количество полуволн, уложившихся на всей длине струны L.

Так как длина волны связана со скоростью распространения волны и частотой соотношением , то, учитывая (3), имеем:

(4)

Струна, следовательно, может колебаться не с одной частотой, а с целым спектром частот, соответствующим собственным (нормальным) колебаниям струны.

Рисунок 1.

В общем случае любые сложные колебания в струне можно представить как суперпозицию нескольких собственных колебаний, отличающихся не только своими частотами, но и своими амплитудами для отдельных точек струны. Распределение амплитуд отдельных точек волны при собственных колебаниях для различных значений n имеет вид, изображенный на рис. 1.

Опыт показывает, что скорость распространения импульса деформаций (колебаний) вдоль струны определяется силой натяжения струны F и линейной плотностью материала струны:

(5)

Тогда с учетом формулы (5) формула (4) примет вид:

Измерения и расчет

T = 1,7 Н, L = 1 м, = 5,7 г/м, = 9,7 г/м

Заполним таблицы результатами измерений (согласно номеру варианта).

Таблица 2. Результаты измерений и расчетов

n	1	2	3	4	5
, Гц	8,6	17,3	25,9	34,5	43,2
, Гц	73,96	299,29	670,81	1190,25	1866,24

Построим график, используя собранные данные.

Рисунок 2. График

Вычислим значение линейной плотности материала струны:

%

Таблица 3. Результаты измерений и расчетов

n	1	2	3	4	5
, Гц	6,6	13,2	19,9	26,5	33,1
, Гц	38,44	174,24	396,01	702,25	1095,61

Рисунок 3. График

Вычислим значение линейной плотности материала струны:

%

Ответ: ,

Вывод: в ходе лабораторной работы были изучены колебания струны, построены графики зависимости количества отрезков между узлами волны и частотой, с помощью чего были определены два значения линейной плотности материала струны. Оба значения оказались очень близки к установочным, что говорит о высокой точности измерений.

Ответы на вопросы для самоконтроля

1. Что такое волна?

Волна – это процесс распространения колебаний в сплошной среде.

2. Какая волна называется продольной?

Волна называется продольной, если колебания частиц происходят в направлении ее распространения.

3. Какая волна называется поперечной?

Волна называется продольной, если колебания частиц перпендикулярны к направлению ее распространения.

4. Что такое волновой фронт и волновая поверхность?

Волновой фронт – это геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t. Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

5. Что называется длиной волны, волновым числом?

Длиной волны называется расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе. Волновым числом называется величина

6. Какая волна является: а) бегущей; б) стоячей; в) плоской; г) сферической?

Волна называется бегущей, если ее распространение связанно с распространением в пространстве энергии колебаний. Стоячие волны – частный случай интерференции, когда сталкиваются две бегущих волны, распространяющиеся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн еще и одинаковой поляризацией. Волна называется плоской, если ее волновые поверхности являются параллельными плоскостями. Волна называется сферической, если ее волновые поверхности являются концентрическими сферами с центром в источнике волны.

7. При каких условиях возникают стоячие волны?

Стоячие волны возникают при отражении от преград.

8. Запишите уравнение стоячей волны.

9. Запишите волновое уравнение.

Волновое уравнение – это уравнение, описывающее волновой процесс:

10. Чем стоячая волна отличается от бегущей?

В бегущей волне все точки колеблются с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, а в стоячей волне все точки между соседними узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами.

11. Что такое пучность и узел стоячей воды?

Пучность – участок стоячей волны, в котором колебания имеют наибольшую амплитуду. Узел – участок волны, в котором амплитуда колебаний минимальна, он противоположен пучности.

12. Чему равно расстояние между двумя ближайшими пучностями стоячей волны?

Расстояние между ближайшими пучностями стоячей волны равно половине длины бегущей волны.

13. Запишите формулы распределения координат пучностей и узлов стоячей воды.

Координаты пучностей:

Координаты узлов:

14. Объясните механизм образования стоячих волн при отражении бегущей волны от границы раздела двух сред различной плотности.

Стоячая волна образуется при отражении бегущей волны от границы двух сред, при этом отраженная волна должна иметь ту же частоту и амплитуду. Возможны два развития событий. В первом при отражении волны от более плотной среды фаза волны изменяется на значение равное π и на границе раздела образуется узел стоячей волны. Во втором случае при отражении волны от менее плотной среды фаза волны не изменяется и на границе разделе образуется пучность стоячей волны.

15. От чего зависит скорость распространения упругой волны в струне?

Скорость распространения зависит от материала струны и ее натяжения.

16. Что такое основная частота струны?

Основной частотой струны называется ее наименьшая частота в сумме гармонически связанных частот.

17. Что такое гармоники основной частоты?

Гармоники основной частоты – это набор частот, кратных основной частоте.

18. Запишите соотношение между частотой и волновым числом нормальных мод струны.

19. Какие волны называют диспергирующими?

Диспергирующими называются волны одной группы, отличающиеся фазовой скоростью, зависящей от частоты этих волн.

20. Что такое Фурье-анализ?

Анализ Фурье заключается в разложении волны сложной формы на группу (сумму) простых волн. Математически, это метод представления функции суммой гармоник.