ЛабРаб_БСТ_Вариант3

Министерство цифрового развития, Связи и Массовых Коммуникаций

Ордена Трудового Красного Знамени федерального государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики» (МТУСИ)

Базовые средства математических пакетов

Лабораторная работа №1

«Применение базовых средств пакета Mathcad для решения нелинейных уравнений»

Вариант 3

Проверил: Загвоздкин

Владимир Александрович

Москва 2023 г.

1. Индивидуальное задание для решения нелинейных уравнений

Дано уравнение:

Допустимые методы: половинного деления, итерации, Ньютона и хорд. Выбран метод половинного деления.

2. Отделение корней с использованием Mathcad

Отделение корней производим графическим методом (график функции) с обязательным подтверждением результата аналитически (таблица).

Функция f(x) меняет знак на отрезке [0.7; 1.3], т.е. на этом отрезке существует, как минимум, один корень, при котором функция равна нулю. На этом же отрезке остается постоянным знак первой производной f1(x)>0

,

т.е. можем говорить о том, что функция на этом отрезке монотонна.

На том же отрезке является знакопостоянной и вторая производная f2(x)>0

,

что является необходимым условием применения метода Ньютона и метода хорд. Делаем вывод, что уравнение на выбранном отрезке [0.7; 1.3] имеет единственный корень.

3. Уточнение корня с использованием MathCad

1) Исследование задания

Для уточнения корня воспользуемся методом половинного деления. Условием сходимости метода является наличие единственного корня на выбранном отрезке [0.7; 1.3]. В нашем случае о выполнении этого условия говорит изменения знака функции и ее монотонность на выбранном отрезке.

За начальное приближение выберем середину вышеупомянутого отрезка:

Условием окончания процесса уточнения является условие , , т.е. длина отрезка, полученного на n-ом шаге должна быть меньше заданной точности .

2) Результаты «ручного расчета» трех итераций

Таблица 1. Результаты вычислений методом половинного деления.

n	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f((a+b)/2)	b-a
0	0,7	1,3	-0,973	1,579	1	0,247	0,6
1	0,7	1	-0,973	0,247	0,85	-0,37	0,3
2	0,85	1	-0,37	0,247	0,925	-0,064	0,15
3	0,925	1			0,963		0,075

После трех итераций приближение к корню – середина отрезка [0.925, 1] – составило x3 = 0,963.

3) Погрешность численного решения нелинейных уравнений

Оценим погрешность результата после трех итераций:

Округлим в большую сторону до первой ненулевой цифры:

Округлим найденное решение по числе знаков в погрешности:

ОТВЕТ: после трех итераций корень уравнения равен

 

4. Решение уравнения встроенными средствами MathCad

Для решения нелинейных уравнений вида f(x) = 0 в Mathcad используется вариант встроенной функции root(f(x), x, a, b), где f(x) – имя функции, стоящее в левой части решаемого уравнения, x – аргумент функции, a и b – границы отрезка с корнем. В нашем расчете ниже z – это имя переменной, которой присваивается найденное значение корня.